固体物理16晶体衍射

第七节晶体的X射线衍射本节主要内容:晶体衍射的基本方法X射线衍射方程原子散射因子和几何结构因子1.波长与晶格常数同数量级的几种粒子束•X-射线：1895（X射线晶体衍射1912）•电磁波，0.001nm-10nm•连续辐射—轫致辐射•特征辐射—与靶材有关•产生：高能电子轰击金属靶材•常用靶材：Cu,Mo,FeRoentgen(伦琴)晶体衍射的基本方法§1.7晶体衍射,Ph,eUmP22,2meUPmeUh2sJ106.6234hC106119.ekg109.131mU5.1(nm)0.1~λV150U,nm2.电子衍射电子波受电子和原子核散射，散射很强透射力较弱，电子衍射主要用来观察薄膜。3.中子衍射电中mm2000nm10U5.7U20005.12中子主要受原子核的散射，轻的原子对于中子的散射也很强，所以常用来决定氢、碳在晶体中的位置。中子具有磁矩，尤其适合于研究磁性物质的结构。0.1nm~λ0.1V~U,X射线衍射方程设X射线源和晶体的距离以及观测点和晶体的距离都比晶体线度大得多。(1)入射线和衍射线为平行光线；(2)略去康普顿效应；(3)只讨论布拉维晶格。1.劳厄衍射方程(4)已假定一个原子中的所有电子的散射，可以等效为这个原子中心点的散射。0SSlRAOCD波程差SRSRODCOll00SSRl衍射加强条件为：)(0为整数SSRl---劳厄衍射方程设A为任一格点，格矢波矢SλkSλk002π2π,μkkRl2π0112233lRlalala正格矢μ2πRlhGhGnkk0μkkRl2π0方程的意义：当衍射波矢和入射波矢相差一个或几个倒格矢时，就满足衍射加强条件。n称为衍射级数，是面指数。称为衍射面指数123hhh123nhnhnh332211bhbhbhGh2.布拉格反射公式•在劳厄提出X射线衍射的概念后，布拉格父子从实验上观察到了衍射图样。他们认为晶体中原子是排列在相互平行的平面（晶面）上，晶面对X射线产生反射，由于反射波彼此相干，故只在一些特殊方向上观察到衍射波，衍射波出现的方向即衍射加强的方向，衍射加强的条件称为布拉格反射公式。2.布拉格反射公式321hhhdndhhhsin2321衍射加强的条件：n为整数，称为衍射级数。布拉格反射公式BAC12123.反射公式与衍射方程是等价的0kkhGnO,λkk02π,λkk0sin4π,2π321hhhhdnGnλsin4,dnhhh3212πndhhhsin2321)(0为整数SSRlμkkRl2π0ndhhhsin2321hGnkk04.反射球•反射球是表示晶体衍射极大条件的几何图示法。•在入射X射线方向上任取一点C作为原点（球心），以1/λ为半径作一球面，则凡是落在该球面上的倒格点A（Gh）相对应的晶面均满足衍射极大条件，衍射线方向平行于CA连线方向。sin222sin22sin32132100hhhhhhhhddKkKk-k则CA是以OA为倒格矢的一族晶面(h1h2h3)的反射方向k0kGhθCAO原子散射因子和几何结构因子X射线与晶体相互作用X射线受原子散射X射线受原子中电子的散射各原子的散射波间相互干涉某些方向干涉极大某些方向干涉极小原子散射因子几何结构因子原子内每个电子对X射线散射波振幅Ae原子内所有电子对X射线散射波振幅Aa原子散射因子f=Aa/Ae1.原子散射因子(1)定义原子内所有电子的散射波的振幅的几何和与一个电子的散射波的振幅之比称为该原子的散射因子。一个原子对X射线的散射是原子内部每个电子对X射线的散射之叠加，原子内各部分电子云对X射线的散射波之间有位相差，会产生干涉。(2)计算0SSOPrr为原子中某一点P的位矢，rkkrsrSS)(λ2πλ2π00设O处一个电子在观测点产生的振幅为Ae，则P点的一个电子在观测点产生的振幅就是：0SS和分别为入射方向和散射方向的单位矢量，则P点和O点散射波之间的位相差为：iAee为电子分布函数(概率密度)，在P点附近体积元d内的电子个数为：。rτrdτrAi)d(ee这个电子在观测点产生的振幅就是：τrd原子中所有电子引起的散射波在观察点的总振幅为：der)k-k(e0iarAA原子散射因子：der)k-k(e0iasrAAf讨论：(1)因为一定，只依赖于散射方向，因此，散射因子是散射方向的函数；00S,SSss(2)不同原子，不同，因此，不同原子具有不同的散射因子；)(re)(AfAsa(3)原子所引起的散射波的总振幅也是散射方向的函数，也因原子而异。der)k-k(e0iasrAAf讨论一个特殊情况：电荷密度分布有球对称性，ρ(r)→ρ(r)，与方向无关。令K=k–ko=Ks，取s为沿z轴单位矢量。则（k–ko）·r=Ks·r=Krcosθ由于ρ(r)的球对称性，现在散射强度只与K的大小有关，即只与k和ko间的夹角有关，而与k、ko及s的方向无关。故f(K)→f(K)。公式（2）可写成f(K)=0200ρ(r)exp(iKrcosθ)r2sinθdθdφdr=2π0ρ(r)r2dr0exp(iKrcosθ)sinθdθ=4π0ρ(r)r2KrKr)sin(dr引进电子径向分布函数U(r)=4πr2ρ(r)---（3）则f(K)=0U(r)KrKr)sin(dr---（4）sr对前向散射,k→ko，K→0，KrKr)sin(→1∴f(0)=0U(r)dr=Z---（5）Z为散射中心中的电子数。如散射中心为中性原子，则Z为原子序数。沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个电子散射波的振幅的代数和。公式（4）可写成Kf(K)=0)sin()(drKrrrU即rrU)(的傅立叶变换，则其逆变换0)sin()(2)(dKKrKKfrrU∴U(r)=0)sin()(2dKKrKKfr---（6）从实验测出f，可反过来求出电子在原子内的分布。若电子分布函数是球面对称的，224π4πrrUrρ,rρrrUrrddsin2πd2rrUfλsrisddsin2πe4π1cos2π0π0λsβrrβrβrUfs2πdsin0其中当1sin,0,0rrskk时srcossrrs原子序数ZrrUf00d沿入射方向，原子散射波的振幅等于各个电子散射波的振幅的代数和。由傅里叶逆变换得：dsinπ20rβfβrrU实验测知原子散射因子，可求出电子在原子内的分布。原子序数ZrrUf0d02.几何结构因子总的衍射强度取决于两个因素：(1)各衍射极大的位相差；(2)各衍射极大的强度。---各子晶格的相对位置。---不同原子的散射因子。(1)定义原胞内所有原子的散射波，在所考虑方向上的振幅与一个电子的散射波的振幅之比。(2)计算jj0RsλRkk2π设原胞内有n个原子，它们的位矢分别为,,R,R,R321位矢为的原子和原点处的原子的散射波的位相差为：jReAfA)s(ajRsλisjajAfA2πe)(ejRsλijjAfA2πee在所考虑方向上,几何结构因子为jRsλijjsfF2πe*2hklhklhklFFFIjjjlwkvhunijjhklfF2πejRsλijjAfA2πee00kkSSλsλ2π2πhKncwbvauclbkahRKjjjlhkl***jjjlwkvhu2π例2：面心立方晶格的几何结构因子。nlnknlnhnknhf1111.,..,0..,4..,4部分为偶数部分为奇数全为偶数全为奇数nlnknhnlnknhfnlnknhfjjjjhkllwkvhunijjRKinjjhklffF2πee面心立方平均每个布拉维原胞包含4个原子，将其坐标21210,21021,02121,000代入公式:lknilhnikhnihklfFπππeee1得：hklF.,..,0..,4..,4部分为偶数部分为奇数全为偶数全为奇数nlnknhnlnknhfnlnknhf当部分为奇数或部分为偶数时，几何结构因子为零，相应的反射消失。nlnknh,,例3：金刚石结构的几何结构因子金刚石结构平均每个布拉维原胞包含8个原子，将其坐标：,21210,21021,02121,000,434143,414343,434341,414141代入jjjlwkvhunijjhklfF2πe]eeeeeee1[332π332π332π2ππππlkhnilkhnilkhnilkhnilknilhnikhnihklfF]eee1[e]eee1[πππ2ππππlhnikhnilknilkhnilknilhnikhnif]eee][1e[1πππ2πlknilhnikhnilkhnif21SS,fSlkhni]e[12π1S1正是在面心立方格点上所放置的基元的结构因子。414141,000]eee[1πππ2lknilhnikhniSnlnknlnhnknhlkhnihklfF1111]e[1)(2π部分为奇数部分为偶数全为奇数全为偶数且为整数全为偶数且nl.nk.nh,nl.nk.nh),i(fnlnknhnl.nk.nh,)(nlnknhnl.nk.nh,f01424048例4：一氯化铯结构的AB晶体，A与B离子的散射因子分别为fA和fB，且为实数。(1)求出晶体的几何结构因子；(2)设fA=fB，求衍射消光条件；(3)设fA=fB，粉末衍射中最小衍射角为300，X光波长为求晶格常数。,10310mlkhniBAhklffFπe解:(1)A离子坐标为,B离子坐标为000,212121jjjlwkvhunijjhklfF2πe(2)nlnknh全为奇数时消光。(3)ndhhhsin2321222lkhadhklsin2)()()(222nlnknha对应于最小的衍射角=300，(110)应取nl,nk,nh030sin22am104.2321031010例5：采用转动单晶法对某一具有简单四角格子结构的单晶体作X射线衍射实验，晶体绕四度旋转轴---C轴进行转动，波长=0.1542nm的X射线沿着垂直于C轴的方向入射。感光胶卷的半径r=3cm。第0层线上的衍射斑点离中心点(即入射线的斑点)的距离分别为0.54，0.75，1.08，1.19，1.52，1.63，1.71，1.97cm。而第1层线与第0层线间的距离为0.66cm。试求该晶体的晶格常量a和c。解：四方晶系：kccjabiaa正格基矢：kccjbbiaa***2π2π2π倒格基矢：中心点第0层第1层O第2层(1)求c：转轴沿C方向，所以所有倒格矢,K,K,K)hk()hk()hk(210分别处在第0，1，2等平面层内,这些平面层都与C轴垂直。OCABλAC2πcAB2πOCAB**hkbkahK0)