太原理工大学2013矩阵论试题(A)

第1页共8页（A卷）学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………考试方式：闭卷太原理工大学矩阵分析试卷（A）适用专业：2013级硕士研究生考试日期：2014.1.13时间：120分钟共8页一、本题共10小题，每小题3分，满分30分.1-5题为填空题：1．已知n阶矩阵2014AE，则A的最小多项式()m.2.如果ijAa为n阶可逆矩阵，则0tAed.3．已知矩阵100010A，则A的全体减号{1}A.4.在3R中，如果1V是过原点的平面，2V是平面上过原点的直线L,那么12dim()VV.5．已知1234A，则A的全部奇异值为.题号一二三四总分得分得分第2页共8页（A卷）6-10题为单项选择题：6．下列矩阵中不是正规矩阵的是（）.(A)HAA（B）1TAA（C）HAA（D）HAA7．如果AA2,则下列多项式中不是A的化零多项式的是（）.(A)A的特征多项式（B）A的最小多项式（C）A的第一个不变因子1()d（D）2()f8．下列矩阵范数中不是算子范数的是（）.(A)1A（B）2A（C）A（D）FA9．已知12,VV都是线性空间V的子空间，则下列集合不是V的子空间的是（）.(A)12VV(B)12VV(C)12VV(D)12VV10．矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是（）.(A)A的初等因子都是一次的(B)A的若当标准型中只有一个若当块(C)A的最小多项式是一次的(D)A的行列式因子都是一次的第3页共8页（A卷）学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………二、本题共2小题，满分24分.11.（12分）（1）已知|,0,(1,1,,1)}nnTVXXRX,证明V是nnR的一个线性子空间，并求V的维数及当2n时V的一个基.(2)在线性空间{|,(0)0}nVffRxf上定义运算10,()()fgfxgxdx，证明,fg是内积.当3n时，求,,abc使232123(),(),()fxxfxxaxfxxbxcx在此内积意义下两两正交.得分第4页共8页（A卷）12.（12分）（1）证明T是nR上的线性变换当且仅当存在nnAR使得对任意的nxR有TxAx，并且满足TxAx的A是唯一的.（2）当3n时，对任意的3123(,,)TxxxxR，定义线性变换122331()(,,)TTxxxxxxx,求33AR使得对任意的3123(,,)TxxxxR，有TxAx，并求T在基123(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)TTT下的矩阵A.第5页共8页（A卷）学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………三、本题共2小题，满分26分.13.(10分)(1)设20312102810A，证明A的特征值都是实数，并在实轴上找出三个互不相交的集合，使得每个集合内有且仅有A的一个特征值.(2)设A为n阶方阵，证明2FAA当且仅当存在n维列向量,使得TA.得分第6页共8页（A卷）14.（16分）设100020100A.（1）求A的加号逆A（2）求使得线性方程组Ax无解的全体向量123bbb，并求矛盾线性方程组Ax的极小范数最小二乘解（即最佳逼近解）.第7页共8页（A卷）学院系专业班级姓名学号(密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计)…………………………………………密…………………………封……………………………………线…………………………………四、本题共2小题，满分20分.15.（10分）已知110220103A.(1)求A的Smith标准型)(A.(2)求A的Jordan标准型J.得分第8页共8页（A卷）16.（10分）已知1111A.(1)分别用三种不同的方法求Ate.(2)求解微分方程组1122121212(0)(0)0dxxxdtdxxxdtxx.