太原理工大学复变函数试卷

太原理工大学复变函数试卷(A)参考答案专业：2006级工科考试日期：2008.1.5时间：120分钟共7页一、填空题（每小题2分，共10分）。1．复数4)11(iiz的指数形式为(ie2)；2．1Ln(ik2)；3．函数)(zf)1(1zez的奇点为(ikz2)；4．幂级数1)1(nnnzi的收敛半径为(21)；5．设c为逆时针方向的圆周：1||0rz，则cnndzz2(i2)。二、选择题（每小题2分，共10分）1.下列关系正确的是（B）A．||||zzeeB．zzsinsinC．bzzbaa)(D．bLnaLnab2．设)()(2323txysxiynxmyzf为解析函数，则（A）A．3,1,3,1tsnmB．1,3,1,3tsnmC．3,3,1,1tsnmD．1,1,3,3tsnm3．设有向曲线c为折线AOB，其中)1,0(),0,0(),0,1(BOA，则cdzzzzz)||(=（B）题号一二三四五六七八九总分得分A．i3234B．i3234C．i3234D．i32344下列级数中条件收敛的是（C）A．0)544(nniB．1nineC．11nninD．121nin5.列结论正确的是（D）A．若)(zf在0z解析，则)(]),([Re00zfzzfsB．若0z是)(zf的n级极点，则)(lim)!1(1]),([Re1100zfdzdnzzfsnnzzC．若0z是)(zf的可去奇点，则)(lim]),([Re00zfzzfszzD．若)(),(zQzP在0z解析，且0)(,0)(,0)(000zQzQzP，则)()(],)()([Re000zQzPzzQzPs三、是非题(每小题2分,共10分)1．方程Czz（0为复常数，C为实常数）表示复平面上的一条直线。√2．函数),(),()(yxivyxuzf在区域E内一点iyxz处可导的充要条件是vu,在点iyxz处满足RC条件。（）3.)!1(21||nidzzeznz，n是大于1的自然数。（√）4．如果函数)(zf在单连通域E内处处解析，c为E内任一条简单闭曲线，则cdzzf0)(Re，cdzzf0)(Im（）5．数)(zf在0z的某邻域内可展成幂级数的充要条件是)(zf在0z的某邻域内连续且在此邻域内沿任一简单闭曲线的积分为零。（√）四．计算下列各题（每小题7分，共28分）1．计算31)3(的值。解31)3(3)3(Lne3)12(3lnkie3)12(33kie2．方程11argzz（为常数）表示什么曲线。解设iyxz，则2222)1(2111yxyiyxzz，于是tan1222yxy，即01cot222yyx，它表示二次曲线。3．计算积分cdzzzcos)1(1，其中c为正向圆周xyx422。解zzzfcos)1(1)(在c内具有两个一级极点1z与2z，1sec)()1(lim]1),([Re1zfzzfsz22]2),([Rezfs所以cdzzzcos)1(1=2i（]1),([Rezfs+]2),([Rezfs)221(sec2i4．计算积分cLnzdz，其中c为正向单位圆周1||z。解:c1||z，即itez，其中t从0到，)2(tkiLnzitcdetkiLnzdz)2(idteietkiitit2|)2(五．计算下列各题（每小题8分，共32分）1．求解析函数),(),()(yxivyxuzf，其中yxyyxu233),(，且iif1)(。解yxyyxu233),(，因为2233yxyuxv，所以)(3)33(2322ygxyxdxyxv又)(66ygxyyvxuxy，得cyg)(由iif1)(，得1c，所以)(zf)3(23yxy+)13(23xyxi2．设)(zf是幂级数11nnzn在其收敛域1||z内的和函数，求)0()(nf。解)(zf=11nnzn，1||z因为)()(zfn=1)1()1(knkzknkkk，所以)!1()0()(nfn3．将函数2)1(1)(zzzf在1||0z及1||z内展开成罗朗级数。解2)1(1)(zzzf在1||0z内，0)1(11nnnzz，112)1()11()1(1nnnnzzz，故2)1(1)(zzzf11)1(1nnnnzz12)1(nnnnz=11)2()1(nnnzn在1||z内，01)1(111nnnzz，11222)()1()111()11(1nnnznzzzz，故1223)()1()11(11)(nnnznzzzf31)2()1(nnnzn4．求zzzftan)(的有限奇点及留数。解zzzzzzfcossintan)(，所以)(zf的有限奇点为2,0kzz因为0z为可去奇点，所以0]0),([Rezfs21|)(cossin]2),([Re2kzzzkzfskz五．简述题（10分）1．复变对数函数与实变对数函数有什么区别。2．复变函数展为泰勒级数的条件与实变函数展为泰勒级数的条件有什么区别。答：1.复变对数函数与实变对数函数有下列区别：（1）复变对数函数为多值函数，而实变对数函数为单值函数；（2）复变对数函数为周期函数，而实变对数函数不是周期函数；（3）复变对数函数的定义域为0z，而实变对数函数的定义域为0x。2.复变函数展为泰勒级数的条件很弱，只要求函数在该点解析即可，而实变函数展为泰勒级数的条件却很强，不仅要求函数在该点具有任意阶导数，而且还必须要求余项趋于零。