奇偶性与单调性测试题

奇偶性与单调性测试题(1)1.（本小题满分12分）已知函数3()log(01)3axfxaax且（1）求函数()fx的定义域；（2）判断()fx的奇偶性并证明；（3）若12a，当5,9x时，求函数()fx的值域.2.已知函数4()log(41)()xfxkxkR为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程4()log(2)0xfxaa有且仅有一个实根，求实数a的取值范围.3.（本小题满分12分）设函数4()log(41)xfxax（aR）（Ⅰ）若函数()fx是定义在R上的偶函数，求a的值；（Ⅱ）若不等式()()fxfxmtm对任意xR，[2,1]t恒成立，求实数m的取值范围．4.（14分）19．（14分）设函数（1）判断它的奇偶性；ks5u（2）x≠0，求的值．（3）计算+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值．5.已知定义域为R的函数12()22xxbfx是奇函数；（1）求实数b的值；（2）判断并证明函数fx的单调性；（3）若关于x的方程fxm在0,1x上有解，求实数m的取值范围.6.（本小题满分16分）设函数),10()(Rkaaakaxfxx且，)(xf是定义域为R的奇函数．（Ⅰ）求k的值，判断并证明．．当1a时，函数)(xf在R上的单调性；（Ⅱ）已知23)1(f，函数]1,1[),(2)(22xxfaaxgxx，求)(xg的值域；（Ⅲ）已知3a，若)()3(xfxf对于]2,1[x时恒成立.请求出最大的整数．．．．．．7.(本小题满分14分)已知fx在1,1上有定义，112f，且满足x，y1,1时有1xyfxfyfxy，数列nx满足112x，2121nnnxxx。(1)求0f的值，并证明fx在1,1上为奇函数；(2)探索1nfx与nfx的关系式，并求nfx的表达式；(3)是否存在自然数m，使得对于任意的*nN，11fx＋21fx＋…＋1nfx84m恒成立？若存在，求出m的最大值。8.（本小题满分12分）已知函数)()14(log)(4Rkkxxfx为偶函数.(Ⅰ)求k的值;(Ⅱ)若方程)2(log)(4aaxfx有且只有一个根,求实数a的取值范围.9.已知函数2()(21)3fxxax（1）当1a时，求函数()fx在3[,2]2上的最值；（2）若函数()fx在3[,2]2上的最大值为1，求实数a的值.试卷答案1.（1）由303xx解得33xx或，()fx的定义域为,33,（2）()fx的定义域为,33,1333()logloglog3333log()3aaaaxxxfxxxxxfxx又()fx为奇函数（3）12a时，112236()loglog(1)33xfxxx用单调函数的定义或复合函数的单调性说明()fx在5,9上单调递减()fx的值域为1,2min12max121()(9)log121()(5)log24fxffxf2.解：(1)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．.即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx，∴log44x＋14x－log4(4x＋1)＝2kx，∴(2k＋1)x＝0，∴k＝－12(2)依题意知：log4(4x＋1)－12x＝log4(a·2x－a)．(*)∴412220xxxxaaaa令t＝2x，则(*)变为(1－a)t2＋at＋1＝0只需其有一正根．①a＝1，t＝－1不合题意；..................................................................7分②(*)式有一正一负根，∴Δ＝a2－－a＞0，t1t2＝11－a＜0，经验证满足a·2x－a＞0，∴a＞1............9分③(*)式有两相等的正根，01020xaaa∴a＝±22－2，∴a＝－2－22，...........11分综上所述可知a的取值范围为{a|a＞1或a＝－2－22}．..............12分略3.（Ⅰ）由函数()fx是定义在R上的偶函数，则()()fxfx恒成立，即44log(41)log(41)xxaxax，所以444112loglog414xxxaxx，所以(21)0ax恒成立，则210a，故12a．·············4分（Ⅱ）4444()()log(41)log(41)log(41)log(41)xxxxfxfxaxax444log(41)(41)log(244)log(2244)1xxxxxx．所以1mtm对任意[2,1]t恒成立，令()htmtm，由(2)21,(1)1,hmmhmm解得112m，故实数m的取值范围是1[1,]2．12分【答案】（1）∵函数的定义域{x|x≠±1}，（2分）f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数；（5分）（2）ks5u所以=0（10分）（3）由（2）可得：+f（0）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0+0+0+0+0+f（0）=1（14分）4.5.解：（1）()fx为奇函数(0)0f，此时有1(0)04bf，解得1b；…………………………………………………………（4分）（2）由（1）知：12112(1)22221xxxfx任取1212,,xxRxx且，则21122112211212()(1)(1)22122112222()22121(21)(21)xxxxxxxxfxfx121212220,210,210xxxxxx21()0fxfx即21()fxfxfx为减函数；……………………………………………………………………………（8分）（3）由（2）知：()fx为减函数；0,1x时，max()(0)0fxf，min1()(1)6fxf；故1(),06fx关于x的方程fxm在0,1x上有解，所以只需要1,06m……………（12分）略6.试题解析：（Ⅰ）()xxfxkaa是定义域为R上的奇函数，(0)0f，得1k．()xxfxaa，()()xxfxaafx，即()fx是R上的奇函数………2分设21xx，则2121212121111()()()()(1)xxxxxxxxfxfxaaaaaaaa，1a，21xxaa，21()()0fxfx，()fx在R上为增函数…………5分（Ⅱ）313(1),22faa，即22320aa，2a或12a（舍去）则]1,1[),22(222)(22xxgyxxxx，令]1,1[,22xtxx，由（1）可知该函数在区间]1,1[上为增函数，则]23,23[t则]23,23[,22)(2tttthy………………………………………………………8分当23t时，429maxy；当1t时，1miny所以)(xg的值域为]429,1[………………………………………………………………10分（Ⅲ）由题意，即)33(3333xxxx，在]2,1[x时恒成立令]2,1[,33xtxx，则]980,38[t则]2,1[)33()313)(33(22xxxxxxx，恒成立即为]980,38[,)3(2tttt恒成立……………………………………………………13分32t，]980,38[t恒成立，当38t时，991)3(min2t991，则的最大整数为10…………………………………………………………16分7.(1)令x＝y⇒f(0)＝0，8.9.（1）当a=1时413)21(3)(22xxxxf3)2()(2413)21()(21maxminfxfxfxfx时当时当（2）对称轴212ax121211211343323)12(49)23()(41,41212221114)2()(41,412121max0max0aoraaaafxfaaaafxfaa时即当时即当