圆锥曲线典型难题大全集学生版

1圆锥曲线典型难题大全集23目录题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系...5题型二：弦的垂直平分线问题........................................7题型三：动弦过定点的问题.........................................10题型四：过已知曲线上定点的弦的问题....................12题型五：共线向量问题.................................................14题型六：面积问题..........................................................18题型七：弦或弦长为定值问题.....................................20题型八：角度问题..........................................................21问题九：四点共线问题.................................................23问题十：范围问题（本质是函数问题）....................24问题十一、存在性问题：.............................................274直线和圆锥曲线经常考查的一些题型直线与椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的位置关系都有相交、相切、相离三种情况，从几何角度可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异公共点对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．直线和椭圆、双曲线、抛物线中每一个曲线的公共点问题，可以转化为它们的方程所组成的方程组求解的问题，从而用代数方法判断直线与曲线的位置关系。解决直线和圆锥曲线的位置关系的解题步骤是：（1）直线的斜率不存在，直线的斜率存，（2）联立直线和曲线的方程组；（3）讨论类一元二次方程（4）一元二次方程的判别式（5）韦达定理，同类坐标变换（6）同点纵横坐标变换（7）x,y，k(斜率)的取值范围（8）目标：弦长，中点，垂直，角度，向量，面积，范围等等运用的知识：1、中点坐标公式：1212,y22xxyyx，其中,xy是点1122(,)(,)AxyBxy，的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(,)(,)AxyBxy，在直线(0)ykxbk上，则1122ykxbykxb，，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，2222221212121212()()()()(1)()ABxxyyxxkxkxkxx221212(1)[()4]kxxxx或者2222212121212122111()()()()(1)()ABxxyyxxyyyykkk2121221(1)[()4]yyyyk。3、两条直线111222:,:lykxblykxb垂直：则121kk两条直线垂直，则直线所在的向量120vv54、韦达定理：若一元二次方程20(0)axbxca有两个不同的根12,xx，则1212,bcxxxxaa。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1lykx与椭圆22:14xyCm始终有交点，求m的取值范围规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：:101lykx过定点（，）:(1)1lykx过定点（，0）:2(1)1lykx过定点（，2）证明直线过定点，也是将满足条件的直线整理成以上三种形式之一，再得出结论。6练习：1、过点P(3,2)和抛物线232xxy只有一个公共点的直线有（）条。A．4B．3C．2D．1规律提示：含焦点的区域为圆锥曲线的内部。（这里可以用公司的设备画图）一、过一定点P和抛物线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在抛物线外，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有3条：两条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（2）若定点P在抛物线上，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和对称轴平行或重合的直线；（3）若定点P在抛物线内，则过点P和抛物线只有一个公共点的直线有1条：和抛物线的对称轴平行或重合的直线和抛物线只有一个交点。二、过定点P和双曲线只有一个公共点的直线的条数情况：（1）若定点P在双曲线内，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点；（2）若定点P在双曲线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有3条：一条切线，2条和渐近线平行的直线；（3）若定点P在双曲线外且不在渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有4条：2条切线和2条和渐近线平行的直线；（4）若定点P在双曲线外且在一条渐近线上，而不在另一条渐近线上，则过点P和双曲线只有一个公共点的直线有2条：一条切线，一条和另一条渐近线平行的直线；（5）若定点P在两条渐近线的交点上，即对称中心，过点P和双曲线只有一个公共点的直线不存在。7题型二：弦的垂直平分线问题弦的垂直平分线问题和对称问题是一种解题思维，首先弄清楚哪个是弦，哪个是对称轴，用到的知识是：垂直（两直线的斜率之积为-1）和平分（中点坐标公式）。例题2、过点T(-1,0)作直线l与曲线N：2yx交于A、B两点，在x轴上是否存在一点E(0x,0)，使得ABE是等边三角形，若存在，求出0x；若不存在，请说明理由。思维规律：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理法，将弦的中点用k表示出来，再利用垂直关系将弦的垂直平分线方程写出来，求出了横截距的坐标；再利用正三角形的性质：高是边长的32倍，将k确定，进而求出0x的坐标。8例题3、已知椭圆1222yx的左焦点为F，O为坐标原点。（Ⅰ）求过点O、F，并且与2x相切的圆的方程；（Ⅱ）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。技巧提示：直线过定点设直线的斜率k，利用韦达定理，将弦的中点用k表示出来，韦达定理就是同类坐标变换的技巧，是解析几何中解决直线和圆锥曲线问题的两大技巧之第一个技巧。再利用垂直关系将弦AB的垂直平分线方程写出来，就求出了横截距的坐标（关于k的函数）。直线和圆锥曲线中参数的范围问题，就是函数的值域问题。9练习1：已知椭圆)0(1:2222babyaxC过点)23,1(，且离心率21e。（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）若直线)0(:kmkxyl与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点)0,81(G，求k的取值范围。规律总结：如果只说一条直线和椭圆相交，没有说直线过点或没给出直线的斜率，就直接设直线的方程为：ykxm，再和曲线联立，转化成一元二次方程，就能找到解决问题的门路。本题解决过程中运用了两大解题技巧：与韦达定理有关的同类坐标变换技巧，与点的纵、横坐标有关的同点纵横坐标变换技巧。解决直线和圆锥曲线的问题的关键就是充分、灵活的运用这两大解题技巧。练习2、设1F、2F分别是椭圆22154xy的左右焦点．是否存在过点(5,0)A的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得22FCFD？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．规律总结：通过以上2个例题和2个练习，我们可以看出，解决垂直平分线的问题，即对称问题分两步：第一步，有弦所在的直线和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），通过判别式得不等式，由韦达定理得出弦中点的坐标；第二步是利用垂直关系，得出斜率之积为-1，或者是利用中点坐标和对称轴直线的斜率，写出垂直平分线的方程，就可以解决问题。需要注意的一点是，求出的参数一定要满足判别式。10题型三：动弦过定点的问题圆锥曲线自身有一些规律性的东西，其中一些性质是和直线与圆锥曲线相交的弦有关系，对这样的一些性质，我们必须了如指掌，并且必须会证明。随着几何画板的开发，实现了机器证明几何问题，好多以前我们不知道的、了解不深入的几何或代数性质，都如雨后春笋般的出来了，其中大部分都有可以遵循的规律，高考出题人，也得设计好思维，让我们在他们设好的路上“走”出来。下面我们就通过几个考题领略一下其风采。例题4、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。例题5、已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3；最小值为1；（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线mkxyl：与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。规律经验：在直线和圆锥曲线的位置关系题中，以弦为直径的圆经过某个点，就是“弦对定点张直角”，也就是定点和弦的两端点连线互相垂直，得斜率之积为1，建立等式。直线不过定点，也不知道斜率，设出mkxyl：，是经常用的一招，在第二讲中就遇到了这样设的直线。11练习：直线mkxyl：和抛物线22ypx相交于A、B，以AB为直径的圆过抛物线的顶点，证明：直线mkxyl：过定点，并求定点的坐标。规律总结：这个题是课本上的很经典的题，例题5就是在这个题的基础上，由出题人迁移得到的，解题思维都是一样的，因此只要能在平时，把我们腾飞学校老师讲解的内容理解透，在高考中考取140多分，应该不成问题。本题解决过程中，有一个消元技巧，就是直线和抛物线联立时，要消去一次项，计算量小一些，也运用了同类坐标变换——韦达定理，同点纵、横坐标变换-------直线方程的纵坐标表示横坐标。其实解析几何就这么点知识，你发现了吗？12题型四：过已知曲线上定点的弦的问题若直线过的定点在已知曲线上，则过定点的直线的方程和曲线联立，转化为一元二次方程（或类一元二次方程），考察判断式后，韦达定理结合定点的坐标就可以求出另一端点的坐标，进而解决问题。下面我们就通过例题领略一下思维过程。例题6、已知点A、B、C是椭圆E：22221xyab(0)ab上的三点，其中点A(23,0)是椭圆的右顶点，直线BC过椭圆的中心O，且0ACBC，2BCAC，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于直线3x对称，求直线PQ的斜率。13练习1、已知椭圆C：22221(0)xyabab的离心率为32，且在x轴上的顶点分别为A1(-2,0),A2(2,0)。（I）求椭圆的方程；（II）若直线:(2)lxtt与x轴交于点T,点P为直线l上异于点T的任一点，直线PA1,PA2分别与椭圆交于M、N点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论。，练习2、：已知，椭圆C以过点A（1，32），两个焦点为（－1，0）（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。方法总结：此类题的关键就是定点在曲线上，定点的坐标是方程的根，通过韦达定理，将动点的坐标求出，在根据斜率互为相反数，就可以直接求出第二动点的坐标，最后由斜率公式，可以求出斜率为定值。14题型五：共线向量问题解析几何中的向量共线，就是将向量问题转化为同类坐标的比例问题，再通过未达定理------同类坐标变换，将问题解决。此类问题不难解决。例题7、设过点D(0,3)的直线交曲线M：22194xy于P、Q两点，且DPDQl=uuuruuur,求实数l的取值