圆锥曲线轨迹方程的求法

圆锥曲线轨迹方程的求法一、用直接法求轨迹方程利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y的等式。例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足PA·PB=x2,则点P的轨迹是（）.A、圆B、椭圆C、双曲线D、抛物线解：PA=（-2-x,-y）,PB=(3-x,-y),PA·PB=x2则（-2-x）（3-x）+(-y)(-y)=x2整理得：y2=x+6所以P点的轨迹为抛物线。答案:D.二、有定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。例：如图，已知圆O的方程为x2+y2=100,点A的坐标为(-6,0),M为圆O上的任意一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹方程（）A.x225+y216=1B.x225－y216=1C.(x+3)225+y216=1D.(x+3)225-y216=1解：由于P为AM的垂直平分线上的点，|PA|=|PM|所以|PA|+|PO|=|PM|+|PO|=|OM|=R=10|OA|=6根据椭圆的定义知:P点轨迹方程为x225+y216=1.解答：A三、用相关点法求轨迹方程当动点M随着已知方程的曲线上另一动点C（x0,y0）运动时，找出点M与点C之间的坐标关系式，用（x,y）表示（x0,y0）再将x0,y0代入已知曲线方程，即可得到点M的轨迹方程。例：如图所示从双曲线x2-y2=1上一点Q引直线x+y=2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程.解:设动点P的坐标为(x,y)，点Q的坐标为（x1,y1），则N点的坐标为（2x-x1,2y-y1）.∵N点在直线x+y=2上，∴2x-x1+2y-y1=2①又∵PQ垂直于直线x+y=2,∴y-y1x-x1=1即x-y+y1-x1=0②①②联立得：x1=32x+12y-1,x2=12x+32y-1又∵点Q在双曲线上，∴x12-y12=1③将x1,x2代入③中，得动点P的轨迹方程式为2x2-2y2-2x+2y-1=0四、用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y2=2px(p0)的顶点O作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB为邻边作矩形AOBM,如图,求点M的轨迹方程.解:设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2)OA的斜率为k(显然k≠0),则OB的斜率为-1k.OA所在直线方程为y=kx.代入y2=2px得x1=2pk2,y1=2pkOB所在直线方程为y=-1kx,代入y2=2px得x2=2pk2,y2=-2pk即B(2pk2,-2pk)∴OB=(2pk2,-2pk),OA=(2pk2,2pk)OM=OA+OB=(2pk2+2pk2,2pk-2pk)所以有x=2p(1k-k)2+4p,y=2p(1k-k)消去(1k-k)得：y2=2p(x-4p)(p0)即求得M点的轨迹方程。注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.一.几何法二.交轨法1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)例:已知圆的方程为x2+y2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是().A.x24－y23=1(x≠0)B.x24+y23=1(x≠0)C.x24－y23=1(y≠0)D.x24+y23=1(y≠0)解:如图所示,根据题意及抛物线的图形性质有:令焦点为P.则有|BP|=|BE||AP|=|AG|所以|BP|+|AP|=|BE|+|AG|=2|OF|由|OP|=2知|BP|+|AP|=4=2a所以a=2,方程为x24+y23=1且焦点不在AB直线上,所以y≠0.解答:D2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)例:如图所示,垂直于x轴的直线交直线交双曲线x2a2－y2b2=1于MN两点，A1，A2为双曲线的顶点，求直线A1M与A2N的交点P的轨迹方程，并指出轨迹形状.解:设M(x1,y1)则N（x1,-y1）,P(x,y),A1(-a,0),A2(a,0)则A1M的方程为y=y1x1+a(x+a),A2N的方程为y=-y1x1-a(x-a)将以上两方程联立得y2=-y12x12-a2(x2-a2)由于x12a2－y12b2=1,得x2a2+y2b2=1当a=b时，点P的轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆.当a≠b时，点P的轨迹为椭圆.