在解题中培养初中生数学直觉思维

在解题中培养初中生数学直觉思维顾伟江苏省启东市陈兆民中学摘要：给直觉思维予应有地位，说明我们不但要重视逻辑思维能力，而且要重视非逻辑思维能力，特别是数学直觉思维能力。本文以例题作为切入口，通过例题设置分析，对学生的直觉思维的培养进行思考并提出有效的教学方法，期望充分发挥直觉思维的作用，提高学生的创造力。关键词：数学直觉；知识组块；猜想；解题教育在数学思维活动中，“直觉”一直扮演着一个特殊的角色，是一种介于逻辑与经验之间的、时常带有一定神秘色彩的创造性思维活动。依布鲁纳的观点，直觉思维是突如其来的领悟和理解，往往是在百思不得其解之后突然产生的。数学直觉思维是由数学活动中的想象和判断组成，简约、迅速、富有跳跃性，它是思维过程的压缩和简化。数学上许多重大突破都与直觉思维有密切的关系，直觉思维的培养对防止学生思维僵化，提高学生创新能力大有益处。以下结合本人的教学实际，谈谈在教学中培养学生数学直觉思维能力的几点做法。一、内敛外收，储备数学直觉1．以“数学的眼光”看生活数学来源于生活。数学学习更是以学习者已有的知识和经验为基础的建构过程。教师要引导学生深入生活，并且以“数学的眼光”看待生活，提炼生活。久而久之，在解决具体的数学问题时，学生往往能联系生活形成数学直觉。《数轴》一节,我从学生生活中熟悉的物体温度计、刻度尺创设情境.学生通过观察温度计或刻度尺的排列顺序，让学生试着用直线来代替温度计，从而引进“数轴”的概念.这样做符合学生的认识规律，给学生留下深刻持久的印象，使学生认为自己创造了“数轴”，内心充满成就感，又有利于学生直觉思维的培养和素质的提高，同时激发学生的学习兴趣，积极参与到教学活动中.这种对数学结果的直觉对于本课的学习无疑可以起到事半功倍的效果。2．扎实的基础是直觉产生的源泉数学直觉是人脑对数学对象、结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断，而这种想象和判断事实上都要依靠过去的知识经验以及对有关知识本质的认识，从而达到从整体上把握问题的实质。若没有深厚的功底，是不会迸发出思维的火花的。在数学教学中我们应该告诫学生千万不要把“直觉”当作是凭空臆想、胡乱猜测，猜也是有根据的，因此，学生理解和掌握数学的基本知识和基本方法是培养直觉思维的基础，扎实的基础为直觉思维提供了源泉。例1：如图，直线yxm与双曲线kyx相交于A（2，1）、B两点．（1）求m及k的值；（2）不解关于x、y的方程组,,yxmkyx直接写出点B的坐标；（3）直线24yxm经过点B吗？请说明理由．本题中的第（2）小题对于初学函数的八年级学生来说，有了一定的难度，他们对于函数比较熟悉的是由已知条件利用待定系数法求解析式，进而求出函数值，而对于数形结合则比较陌生，此时，我们只要启发学生从一次函数图像与反比例函数图像组成一个轴对称图形，它的对称轴是二四象限角平分线所在的直线，从而写出点B的坐标就很容易了。反比例函数图像的对称性是学生知识储备中的基础，只要具备了这一知识，本题就极易解决了，进而可向学生渗透数形结合是解决函数题最常用的一种数学方法。数学教学中应注意把数学知识所揭示的本质规律提炼到方法的高度，这样有助于学生对知识和方法的真正理解与掌握，也为直觉产生打下牢固的基础。二、帮助学生形成知识组块以培养直觉的敏锐性数学中有许多含有较多信息量的基本图形、模式、方法，在解决问题时反复运用这些知识和方法，使得它们之间的联结得以加强，形成一个个知识组块。当遇到有关问题时，便能迅速联想起知识组块，直觉敏锐地进行识别、分析，形成对问题的整体综合判断，从而得到解题方法和思路。例如，二元一次方程（方程组），二元一次不等式和函数是初中数学的一个重要的基础知识，它们形成了一个知识组块，只有在熟练的掌握了上述各知识之后，才能互相转化，运用自如。例2：若直线kxyxy与32的交点在第三象限，求k的取值范围。例3：已知关于x的一次函数nmxy3和反比例函数xnmy53的图象都过点（1，－2），求：（1）一次函数和反比例函数的解析式；（2）两个函数图象的另一个交点坐标。两例中直线的交点是几何问题，但必须用方程组知识来解决，函数图象的交点坐标就是相对应方程组的解，因此，例2的交点坐标需用32xy与kxy所构成的方程组的解来表示，然后利用第三象限的点的坐标特征0,0yx转化成不等式组来解决就可以了。例3中已知的一交点坐标即相对应方程组的解，因此可代入两解析式求出m、n的值，确定解析式，再解这两个解析式组成的方程组，以求得另一个交点坐标。若是掌握了函数、方程（组）和不等式之间的联系ABOxy2123－3－1－213－3－1－2这一知识组块，此类题就极易解决了。又如善于积累的学生在解方程（非负性题）之后，会得出这样的基本观点与方法：①几个非负数之和等于0，则每一个数都为0；②两个变量满足一个关系式，要求这两个变量，则必须把这个关系式分解成两个关系式或联立方程组解决。在某些场合，这些观点与方法便能发挥作用。例4：已知方程0136422yxyx，求x,y的值。此题如果解题，一个方程中含有两个未知数，常规解方程方法无效。根据上述知识组块，求两个变量需得把上述方程分解为两个关系式，于是重新审题，得出03422yx，从而有0304yx成立，本题得解。这样的知识组块还有很多，在教学中教师要善于引导学生自己总结、归纳。事实证明，学生是否善于联想，能否准确、迅速的把握解题的方向和方法，很大程度上取决于他所掌握的知识组块的数量及其运用的熟练程度。因此，发现、归纳、运用知识组块是训练直觉思维的知识基础。三、鼓励学生猜想，以形成朦胧的直觉数学猜想是依据某些数学知识和已知事实，对未知量及其关系作出的推断，是科学假说在数学中的体现，是一种探索性思维。在数学中，将一些命题的结论暂不揭示，让学生通过观察、联想、类比、特殊化等方法，凭直觉进行数学猜想，然后加以验证，是发展直觉思维能力的必要手段。“预见结论，途径便可以有的放矢”，所以，加强数学猜想的训练对提高学生的直觉思维能力是十分有益的。例5：例如，在二次根式8099的化简解题中，我这样设计：已知：322322833833……请你猜出8099=并给予证明。学生脱口而出是：8099经过验证这个猜想是正确的，于是我及时的指出这种科学的猜想就是直觉思维。然后激励学生探究为什么？通过证明上述猜想成立，推导出结论。最后引导学生总结规律，进而加以推广应用。如求进一步来化简12nnn(n≥1的整数)=等等。例6已知240zxxyyz，求证2xzy.初看这道题学生不知该如何下手，整体观察发现已知等式左边有判别式24bac的形式，于是由决定构造一元二次方程解决问题.设有方程20xytzxtyz，观察可知，此方程的各系数之和为0，因此1t是方程的根.又其判别式240zxxyyz，故1t为方程的二重根.由韦达定理知，二根之积11yzxy，故2xzy．在给学生分析实际数学问题时，教师不妨向学生剖析自己的解题心理，曾经对问题所作的猜测，以此开启学生的思路，引导学生凭敏锐的直觉、深刻的洞察力进行大胆猜测，从而能够迅速提高学生的解题能力。从某种意义上讲，培养学生敢于猜想、善于探索的思维习惯是形成数学直觉，从而发展学生的数学思维并获得数学发现的基本素质。我们也可以利用不同问题之间的相似点作比较，猜想以形成直觉。例7：建筑上有这样的规定：民用建筑的采光度等于窗户面积与地面面积之比，但窗户面积必须小于地面面积，采光度越大，说明采光条件越好。如果设原窗户的面积为a平方米时，地面面积为b平方米，那么窗户面积和地面面积都增加c平方米时，采光条件是变好了还是变差了？此题考察学生分式的加减知识，通过作差法来比较bacbca与的大小，两个问题作比较，很容易得知bacbca.，采光度变好了。由此，我们也就能很快的猜想改编后的下例创新探究题：例8：（1）已知一个分数)0(mnmn,如果分子、分母同时增加)0(pp，这个分数是增大呢？还是减少呢？（2）对于上题猜测的结论，你能证明吗？此题由原来的分母大于分子转换成了分子大于分母，相当于成了倒数，则分子、分母同时增加一正数p时，凭直觉自然是减少了，可通过作差法比较确认猜想正确。这一类的猜想题，通过观察，类比等各种方法，反复训练，对提高直觉思维能力会有很大的帮助。四、重视解题教学1.把握整体，培养直觉思维的简约性在解决问题时，要抓住要点，撇去一些次要因素，放眼整体，包括条件和结论在内，引导学生多方位理解，提倡学生动用大脑中的全部知识，充分发挥想象力，进行大跨度、大步骤思维，培养直觉思维的简约性。例9：已知x2+x-1=0，求代数式2x3+4x2+5的值此题如果先求出x2+x-1=0的根直接代入，计算过程相当繁。但若把所求的代数式变形，运用整体代入，则不仅化难为易，且妙趣横生。解法一：∵x2+x-1=0，∴x2+x=1∴2x3+4x2+5=2x(x2+x)+2x2+5=2(x2+x)+5=7解法二：∵x2+x-1=0，∴x2+x+1=2（其中x≠1）∴x3-1=2(x-1).即x3=2x-1∴2x3+4x2+5=2(2x-1)+4x2+5=4(x2+x-1)+7=7在整体分析的基础上进行大步骤思维，使学生在具有相应的知识基础和已达到一定熟练程度的情况下能变更和化归问题，培养思维的跟踪的能力。可见从宏观上对问题进行分析，对问题的求解进行直觉的洞察，确定问题的整体思路和途径，往往可以对问题作出迅速、简洁的解答。2.善于变化，培养直觉思维的灵活性教师在习题教学中，不要只限于就题论题，要在原题的基础上不断变换问题情境，使之变为更多有价值，有新意的新问题，使很多的知识得到应用，从而获得“一题多练”、“一题多得”的效果，使学生的直觉思维的灵活性得到培养和发展。例10：（原例题)已知等腰三角形的腰长是4，底长为6；求周长。我们可以将此例题进行一题多变。变式1已知等腰三角形一腰长为4，周长为14，求底边长。(这是考查逆向思维能力)变式2已等腰三角形一边长为4；另一边长为6，求周长。（前两题相比，需要改变思维策略，进行分类讨论）变式3已知等腰三角形的一边长为3，另一边长为6，求周长。(显然“3只能为底”否则与三角形两边之和大于第三边相矛盾，这有利于培养学生思维严密性)变式4已知等腰三角形的腰长为x，求底边长y的取值范围。变式5已知等腰三角形的腰长为X，底边长为y，周长是14，写出y与x的关系及自变量的取值范围。这样通过变式，不仅引导学生探索出公式等腰三角形边的本质，而且有助于培养学生的发散性思维，增强了直觉思维的灵活性。学生在学习过程中经常出现的这些直觉思维，有时表现为一种应急反应，有时表现为突然提出怪问题，产生一些不合乎逻辑的想法，自然它也有失误的时候，错的不是思维本身，而往往是缘于自身的知识储备和思维能力还不够丰富、不够完善，此时，对于学生的设想给予充分肯定，对其合理成分及时给予鼓励，指出直觉思维虽不太可靠，但却难能可贵，应当鼓励学生去寻找猜错的原因，这也是一种学习，一种进步，因为教学猜想本身对发展创造性思维就具有积极的实践意义，不然的话，就会扼杀学生的数学直觉思维能力。数学家高斯在小学时就能解决求和问题，这是基于他对数的敏感性的超常把握，对他的一生产生了不可磨灭的影响。而我们现在的中学生极少具有这种直觉意识，对有限的直觉也半信半疑，不能从整体上驾驭问题，也就无法形成自信，这是对学习极为不利的。因此，教师在教学中应多角度、多层次、持之以恒地培养学生的直觉思维，最大限度地发挥直觉思维的作用，提高学生的素质，培养既科学严谨又勇于创新的新时代的人才。参考文献：[1]季素月《中学生数学能力培养研究》[M]东北师范大学出版社20025[2]宋华勇《重视并发展学生解决数学问题中的直觉思维》[J]《中国数学教育》20071-2[3]台州职业技术学院《数学直觉，想说爱你不容易》[J]《中学数学研究》2003