培养高素质数学人才的研究与实践

更多免费资料请访问：豆丁教育百科培养高素质数学人才的研究与实践---数学分析课程建设总结我们的数学分析课程建设，始于1996年数学系“国家理科人才培养基地”成立之时.当时在为北师大数学系96级教授数学分析的基础上，撰写了教改两篇论文，见[1]，[2]和[3]。1998教育部正式立项，我们的课程立为重点项目“数学教育专业主干课程教学内容和体系的研究与实践'',编号JS032A，2000年结项.自1999年，本课程被教育部确立为``国家理科人才培养基地创建名牌课程'',2000年通过验收.接着，经教育部批准，2001年至2003年继续作为``国家理科人才培养基地名牌课程''.自2000年至2003年，本课程被纳入教育部教改项目``培养高素质数学人才的研究与实践''(1283B01032).2004北京市批准本课程为北京市``精品课程''.培养高素质数学人才的必要性是不言而喻的。近八年来我们的教学小组以这个题目为核心，贯穿上述各研究项目，进行了改革的尝试,在如何提高大学数学系基础课水平这个问题上进行了探讨和大胆的实践。我们刚迈出第一步，那就是进行了改革数学分析（或叫微积分）课的传统教育内容和教学方式的尝试.第一部分我们的认识大约从1950年以来，``数学分析''课程经历了多次的改革,课程的教材,从引入前苏联的课本,到自己编写课本.有人统计过,我国学者们已经编写出版了180多本数学分析教科书.但就我们所看到的来说,我们认为这些书基本内容、格调没有多大不同。从教学的方式来说，同其他课程一样,主要是教师讲，助教辅导习题课，学生做习题这三个步骤。大量的辅导材料、习题集也出版了。时至今日，不少人已觉得这门课比较成熟,趋于定型，不宜做大的改动。没人怀疑数学分析作为数学系的课程和对于培养数学人才的基础重要性。如今，对于这样一门已经历了50多年改革的风风雨雨的重要课程，还要不要进行改革，如何进行改革，特别应持严肃和谨慎的态度。应该避免由于轻率的变动而对教学造成的危害。例如历史上的``打倒柯（Cauchy）家店''，``一把大挫捅破窗户纸''之类的轻率行为，已被历史证明是不可取的。主张对这门课基本保持现状，是很有理由的。那么我们为什么要对这门课做比较大的改动呢？我们有两方面的考虑：（1）以往的课程设计不太能适应天分高的学生。对于因材施教注意不够。表面上看是要适应每一个学生，实际上只能是迁就理解能力较低的学生。能力强的学生自然就显得``学有余力''，不能充分发挥他们的聪明才智而更快地学得更深入。我们认为，因材施教是培养人才必须遵循的法则。用一个模式培养众多的本来就千差万别的学生，结果只能使能力强的学生受损失。当前高等教育大发展，学生数量不断增加。同一个班的学生尽管入学成绩都在一个分数段内，上下不相差50分，但他们的天分和发展潜力的差别随着招生人数的增加已经而且还要变得越来越大。因此，新形势下，提倡因材施教，显得更重要。江泽民主席在第三次全国教育工作会议上的讲话（l999年6月15日）谈及人才成长规律时说过：“学得好的影响和带动学得不太好的，水平高的影响和带动水平比较低的，这样就可以促进共同进步与提高.必更多免费资料请访问：豆丁教育百科须坚决克服用‘一个模子’来培养人才的倾向”（2）随着大学教育的发展，学术研究已经成为校园的风气。众多的研究生要做研究，而研究生大多是从本科生中来。本科生如果没有扎实的基础知识，将来很难做出有价值的研究工作。这对于``数学分析''这样重要的基础课程的学术水平提出了严格的要求。21世纪大学数学教育的学术水平应该、也可能在20世纪的水平的基础上提高一个档次。基于这两方面的考虑，我们首先重写了数学分析的课本，以期能给学生提供更深更广的知识，并诱导启发学生进一步做数学学术研究的意愿。而对与那些自身要求不高的学生，只要掌握新课本的最基本的内容就可以了。我们新编的教材叫做《简明数学分析》（王昆扬编，2001年7月出版，高等教育出版社）出版前曾为北师大1999级一班学生使用，出版后为北师大数学系2001级和北师大2001级励耘班同时使用，后来继续在北师大数学系2002级、2003级使用，目前正在北师大数学科学学院2004级使用。这本教材有以下如下一些特点：1).本教材十分注意知识的系统性、严格性和学生认识的连贯性.我们对于刚上大学的学生,在第一章中就严格地讲授实数的定义.因为我们知道,学生们早已在初中二年级就已经知道“无限不循环小数是无理数”,``有理数和无理数统称为实数''.现在到了该讲清楚“无限不循环小数是无理数”及“无限循环小数是有理数”到底是什么意思的时候了.而要讲清什么是实数,必须引入极限,首先是有理数列的极限的概念,参阅[4].我们分析了以往大多数数学分析课本对于实数概念的讲法.感到常用的Dedekind的分割的方法,即使是对于高年级学生,也是费解的.而且这种分割的方法,要用到有理数之间有大小关系这一特殊性质,不能推广应用于一般距离空间的完备化.我们承袭学生从初中就已接受的认识,着力用极限的观点把实数这个概念讲解清楚.即使部分学生一时理解不透，以后在学泛函分析，遇到距离空间的完备化的时候，认识也必有一大提高.而且我们认为,即使有的学生永远也无法理解实数概念,我们在课本中的讲解也只能有益而无害.毕竟有高素质的学生需要这些知识.这可以说是这本书的第一个特点.2).我们没有等到后面单独讲授级数理论的时候才遇到。事实上，学生们在中学早就知道等差级数和等比级数了.讲完数列的极限，级数的概念就自然出来了.于是,在证明了实数系(作为距离空间)的完备性之后,我们毫不犹豫地定义函数xe$$f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k!}x^k,x\inR,$$并把(1)f记作e(与Euler的名字密切相关的一个无理数)，把()fx记作xe.给学生们讲清楚这就是他们在中学就知道的指数函数,参阅[5].学生们早就熟悉这个函数的各种性质了.但是,不使用极限概念,就不可能真正理解这个函数.以往害怕一开始就严格引入指数函数的定义,就象害怕引入实数的定义一样,结果是不得不做许多繁琐的不严格的描述,实在是事倍功半.仔细想一想,我们在复变函数论中，几乎没有更好的办法避免使用上述定义.那么,与其等到三年以后再重来一次定义，何不此刻毕其功于一役呢？而且，这样做，往下的论述非常简单明了.3).把单变量和多变量一块儿讲.目的有二.其一，强化学生对于多变量函数的认识.现代科学技术的发展对于多变量函数的理论的需求越来越高.如[6]指出的,以往的教科书“一元微积分的讨论更多免费资料请访问：豆丁教育百科不厌其烦,而多元微积分则显得相当薄弱”.我们认为,针对以往对于多变量理论的讲述不够充分及把单变量和多变量分开讲的负面效果,尝试把单变量理论与多变量理论统一起来讲是有益的.何况大学生们在中学阶段的学习中已经与一元初等函数打了6年的交道，有了接受多变元函数概念的基础.这是主要目的.其二，节约了大量篇幅.当然，在讲多元函数的导数时，一方面要把一元函数作为特例同时也是最基本的情况讲透彻，同时又要强调多元情形与一元情形确有本质上不同的地方，不可一概把多元情形看成是一元情形的简单推广.接着，要花些力气把多维空间之间的变换，特别是可导变换的概念讲清楚，这将是多元积分变量替换的理论基础.也是偏微分方程论等课程中不可少的基础知识.4).用Lebesgue积分取代Riemann积分.数学分析的基本内容应该是函数的导数理论(或叫做微分论)和积分理论两部分。现有教材在积分学部分都以Riemann积分理论为内容.Riemann积分是19世纪的理论.Riemann积分的产生很自然，很接近生活，很有用处，但在理论上是不完备的，具有严重缺陷。20世纪初创立的Lebesgue积分理论克服了Riemann积分的缺陷,是完备的理论.我们认为Riemann积分的本质缺陷是不承认$\sigma$可加性,而这恰是Lebesgue积分论的出发点.我们认为给学生讲一个统一的积分理论，比人为地把这个理论分解成Riemann积分和Lebesgue积分两部分,是利大于弊的。关于用Lebesgue积分取代Riemann积分的必要性,在论文[3]中有专门的论述.我们赞成J.Dieudonn'e的下述观点(J.迪厄多内,现代分析基础，第一卷,科学出版社,1982,159页):……这里明显地没有微积分教程中一个古老的题目.即`黎曼积分'.人们大概会感觉到:如果不是它的有权威的名字,它老早就该没落下去了,因为对于任何一位从事研究工作的数学家来说(带着对黎曼天才的应有尊敬),十分清楚,现今这一`理论'的重要性在测度与积分的一般理论中,最多不过是一普通的有趣的练习(参看13.9问题7).只有那种学究传统的顽固保守主义才会把它冻结成课程的正规部分,长时间以后必将失去它的历史重要性.''在大学的课程中,传统的作法是在大学一年级讲Riemann积分,在三年级再讲授Lebesgue理论.这种做法,少说也历时50年了.50年前的学术界对于Lebesgue积分掌握得不够好，把本来应该统一的一个积分论分成了两段，情有可原。可是现在的学术发展，对于函数理论的研究，绝对离不开Lebesgue积分.而且学术界对于Lebesgue积分的了解已大大提高了.在这种形势下,在大学课程中把积分论统一起来,不仅是必要的,而且是可能的.我们常说过去的课程内容已显得陈旧.在一年级的基础数学课程中,固守Riemann积分,可以说是内容陈旧的最明显的表现了.过去人们常认为Lebesgue积分比较难,怕学生难于接受.这种担心的基本根据,是以往(三年级)的实变函数论课(其实就是Lebesgue积分论课)常让人觉得又难教又难学.其实,这也可以看作是以往把Riemann积分与Lebesgue积分分开来讲的一个副作用。我们认为,把Riemann积分与Lebesgue积分分开讲,至少造成了两种误解.一个误解是认为Lebesgue积分好像是独立于Riemann积分之外的一种符号游戏，又难又没用。其实Lebesgue积分的理论中完全包含着Riemann积分，而且从更高观点上，把Riemann可积的本质看透了。根本不存在两者的对立。有人曾说过,Lebesgue积分不能计算。这个说法明显地把Lebesgue积分和Riemann积分对立起来，这是一个大误会.第二个误解,是认为Lebesgue积分更多免费资料请访问：豆丁教育百科太难，似乎不是大学本科一年级学生所能接受的。诚然,一个终极的理论当然比它的初级阶段来得深刻和艰难。可是如果学生根本就不曾学过什么积分，他们就不可能象我们先慢慢学Riemann积分再匆匆忙忙学Lebesgue积分的人那样,产生如此强烈的易和难的差觉。想当年我们学Riemann积分时,是细嚼慢咽，几乎用两年的时间去品味Riemann积分，大得甜头。可是后来，再用半年时间草草地读像前苏联Hatanson的《实变函数论》那样艰深的课本，做那些艰深的习题，于是对Lebesgue积分就只能觉得苦。现在我们把Lebesgue积分放到一年级讲，不去做那些``在显微镜下进行分析的''难题，学生固然不会是很轻松，可也没觉得那么可怕。这是实践所证明了的。我们要做的,是通过实践来证明,有必要打破保守落后的观念.不能因为难就驻足不前.应该做的事一定要坚持做下去,应该在实践中把原以为困难的东西设法化解为易于为多数(不必是全部)学生接受的东西.5).对于求原函数(不定积分)的技巧部分,做了适当压缩,并加入使用计算机的练习.``参变积分''理论不再单列一章,而是作为积分论的一节.``数项级数''也不单列一章.适当减少同样内容的重复,节奏紧一点,腾出时间让学生主动发挥.6).注意与后续课程的衔接,不躲避相关学科的重要概念.例如,对于Rn的基本拓扑概念,作触类旁通的介绍,对于学生将来进一步学习其它学科,树立数学的整体概念是有好处的.在讲幂级数的时候，扩展到复数域去讲，实在是举手之劳，却能为与解析函数论的沟通预做准备.在数学分析课的教学方式上,我们所作的改进是：大力开展讨论班。北师