培优专题7_分式的运算(含答案)

-1-分式的运算【知识精读】1.分式的乘除法法则abcdacbd；abcdabdcadbc当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。2.分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。（2）同分母的分式加减法法则acbcabc（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。3.分式乘方的法则()ababnnn（n为正整数）4.分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。下面我们一起来学习分式的四则运算。【分类解析】-2-例1：计算xxxxxxxx22222662的结果是（）A.xx13B.xx19C.xx2219D.xx2213分析：原式()()()()()()()()xxxxxxxx21323221()()()()()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxxx2132213211331922故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。例2：已知abc1，求aababbcbcacc111的值。分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用abc替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。解：原式aabaababcabaabcabcabcab1aabaababaabcaabaababa111111例3：已知：250mn，求下式的值：()()11nmmmnnmmmn分析：本题先化简，然后代入求值。化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。解：()()11nmmmnnmmmn-3-mmnnmnmmmnmmnnmnmmmnnmmnmmnnmnmn()()()()()()()()25052mnmn故原式5252nnnn723273nn例4：已知a、b、c为实数，且ababbcbccaca131415，，，那么abcabbcca的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。解：由已知条件得：113114115abbcca，，所以211112()abc即1116abc又因为abbccaabccba1116所以abcabbcca16例5：化简：()xxxxxx322121241解一：原式()()()()()()()()xxxxxxxxx32121222221-4-xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx432423222322323241311111311111133311244()()()()()()()()()()()解二：原式()()()()()()()()xxxxxxxxxxxxx1122211122212()()()()xxxxxxxxxxxxxxx2322232121222232244说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。因此，解题时注意审题，仔细观察善于抓住题目的特征，选择适当的方法。例1、计算：12442222nmmnmnmmnn解：原式1222mnmnmnmnmn()()()1223mnmnmnmnmnnmn说明：分式运算时，若分子或分母是多项式，应先因式分解。例2、已知：Mxyxyyxyxyxy222222，则M_________。解：2222xyyxyxyxy-5-222222222222xyyxxyyxyxxyMxyMx2说明：分式加减运算后，等式左右两边的分母相同，则其分子也必然相同，即可求出M。中考点拨：例1：计算：[()()]()111122abababab解一：原式()()()()()()abababababababab222242222222abababababbaababaab()()()()()()解二：原式()()()111111abababababab11222ababababababaab()()说明：在分式的运算过程中，乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。例2：若abab223，则()()1212333babbab的值等于（）A.12B.0C.1D.23解：原式abbababbab3333322-6-abababababaabbabaabbababaabbaabbabababababab333322222222332412()()()()故选A【实战模拟】1.已知：abab25，，则abba的值等于（）A.25B.145C.195D.2452.已知xx21610，求xx331的值。3.计算：132156171219202222xxxxxxxx4.若AB999919999199991999911111222222223333，，试比较A与B的大小。5.已知：abcabc08，，求证：1110abc。-7-【试题答案】1.解：abbaabab22ababababababba25214145145222，()故选B2.解：xx21610xxxxxx222161116161，，111111616336324234223xxxxxxxxxxxxxx()()()162161621616161216163161642222()()()()xxxxxxxxxx16316116316161625941442[()][]xxxx说明：此题反复运用了已知条件的变形，最终达到化简求值的目的。3.解：原式112123134145()()()()()()()()xxxxxxxx111212131314141511154652xxxxxxxxxxxx说明：本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分，简化计算。4.解：设a99991111，则AaaBaa1111223，-8-ABaaaaaaaaaaa111112111223434223()()aaaa()()()1110223AB5.证明：abc0()abc20，即abcabbcac2222220abbcacabc12222()又111116222abcbcacababcabc()abc8abc、、均不为零abcabc22201110