基本不等式链

关键词：基本不等式高中数学教学随笔必修5不等式授之以鱼，不如授之以渔。1均值不等式链基本不等式链：若ba、都是正数，则2211222babaabba，当且仅当ba时等号成立。注：算术平均数---2ba；几何平均数---ab；调和平均数---baabba2112；平方平均数---222ba。证明1：（代数法）（1）abbaabbababa220)(002，；（2）ababbaababbaabba21202abba112；（3）224)(22)(2222222222222bababababaabbaabba；综上，2211222babaabba，当且仅当ba时”“成立。证明2：（几何法）如图，baABbBCaAC，，，以AB为直径作圆O，则图1：abDCbaOD，2，ODDC2baab；图2：baabODDCDEabDC22，，DCDEabbaab2；图3：2222baGCbaOC，，GCOG2222baba；综上，2211222babaabba，当且仅当ba时”“成立。abDOABCabEDOABCabGOABC界首一中2011-01问题是思考的结果，是创造的开始。2证明3：（几何法）作梯形ABCD，使CDBCADBBCAD，，90//，令)(abbBCaAD，，，FE、分别是CDAB、的中点，过E作CDEG于G，过G作ABGH于H，在EB上截取2abEN，则FE、分别是CDAB、的中点，2abEF，ED平分ADCabABEAEG21，baDGBCCGADGHbaGCDGBCGCDADG，，即baabGH2，2abEN222baNF，显然，FNEFEGGH，∴22222babaabbaab当“ba”时，22222babaabbaab。证明4：（几何法）作梯形ABCD，使ABBCADBBCAD，，90//，令)(abbBCaAD，，，在AB上截取bBCAFaADAE，，则aBFbBE，过E作ABEG交CD于G，过F作CDFO于O，过O作ABOH于H，在GOEH、上分别取点NM、，使梯形EGNM与梯形MNOH相似，则BCAFBFAD，，2212222baCDOFDOCObaCFDF，22baBCADOHODOC，baabbaAEBCBEADEGbBEaAE2，，梯形EGNM与梯形MNOH相似abOHEGMNOHMNMNEG显然，OFOHMNEG，∴22222babaabbaab当“ba”时，22222babaabbaab。