变量与函数

第十一章一次函数11.1变量与函数目录11.1.1～11.1.2变量和函数11.1.3函数的图象11.1.1～11.1.2变量和函数[教学目标]1．知识与能力：（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律；（2）从具体的事例了解常量、变量的意义；（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．2．过程与方法：体会从具体的事例中寻找出常量与变量，判断两个变量之间是否满足函数关系的过程．3．情感、态度与价值观：通过列举同学们身边的事例，激发同学们探究问题的兴趣．[重点难点]1．教学重点：（1）探索具体问题中的数量关系和变化规律；（2）从具体的事例了解常量、变量的意义；（3）结合实例，理解函数的概念以及自变量的意义．2．教学难点：函数概念的理解．[教学方法]创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．[教学过程]一、创设情境，激发学生的学习兴趣和学习欲望问题：大家都爱看侦探小说《柯南》吧，其中有这样一个故事：柯南到了一个杀人现场后，发现现场只留下一串脚印，但是柯南很快就推断出了杀人嫌疑犯的身高.你知道他为什么会如此之快地推断出了嫌疑犯的身高吗？学生思考：脚的大小与身高有一定的关系．得出结论：在一般情况下人们的身高随着脚的大小的变化而变化.其实生活中还有很多类似的现象.二、探究具体问题的数量关系，感受变量和常量的含义生活中我们常常会遇见许多数量，这些数量之间的关系都是怎样表达的呢？让我们看一些具体的实例．问题1：（大屏幕显示）用10米长的绳子围成一个长方形.改变长方形的长，观察长方形的面积如何变化.若设长方形的长是x米，面积为y平方米，则y和x应当满足什么关系？[y=x（5-x）]．问题2：（见大屏幕）银行对各种不同的存款方式规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式所规定的利率:存期x三月六月一年二年三年五年利率y（%）1.71001.89001.98002.25002.52002.7900观察上表，说说随着存期x的增长，相应的利率y是如何变化的．这是一个用表格形式表示的数量关系的例子，同学们能否再举一个类似的例子．问题3：（见大屏幕）一辆汽车以60千米/时的速度行驶，行驶的路程s（千米）和行驶的时间t（小时）有怎样的关系？学生回答：s=60t．（板书）问题4：圆的面积S和它的半径r之间的关系是什么？学生回答：S=r2．（板书）学生活动设计：在上述四个问题的解决过程中体会在一个变化过程中各个量的变化规律，进而发现有的量变化、有的量不变，最后在教师的引导下进行归纳．教师活动设计：在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，出现了各种各样的量.有些量，它们始终保持不变，我们称之为常量（constant），如：60.而有些量，在某一变化过程中，可以取不同的数值，我们称之为变量（variable），如：问题3中的路程s和时间t等．三、问题引申，探索函数的概念在前面研究的每个问题中，都出现了两个变量，他们之间是相互影响，相互制约的．问题5：请同学们自己分析问题3中各个变量之间的关系，进而再分析上述所有问题中的各个变量之间是否有类似的关系．学生活动设计：小组活动，合作讨论，然后进行交流．学生分析：s和t两个变量之间是互相关联，互相影响的.对于t每给定的一个值，变量s都有一个唯一确定的值与它对应（如t=1时，s=60；t=2时，s=120等）．对于其他问题，都有着这样一个规律：上述每个问题中的两个变量相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就有一个确定的值与之对应．教师活动设计：让学生体会上述两个变量之间的变化，引导学生总结.函数的概念：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，其中x是自变量．例如：s=60t.（1）t是自变量，s是t的函数；（2）函数的定义域是t的取值范围（t≥0）.又如：圆的面积S和它的半径r之间的关系是S=r2．（1）是常量，S、r是变量；（2）r是自变量，S是r的函数；（3）函数的定义域是r＞0．四、应用提高、拓展创新问题1：在计算器上按照下面的程序进行操作．输入x（任意一个数）——按键×、2、＋、5、=——显示y．根据你的操作，你能发现y是x的函数吗？若是，请写出它的表达式.学生活动设计：学生独立完成探究1，并交流．教师活动设计：引导学生发现、表达函数关系式：y=2x+5．问题2：拖拉机的油箱最多装油56千克，装满油后，犁地时平均每小时消耗6千克的油．（1）写出剩油量y（千克）和时间x（小时）之间的函数关系式；（2）求出自变量x的取值范围；（3）工作4小时20分钟后，油箱剩油多少？学生活动设计：学生独立思考，必要时进行适当的讨论，然后进行交流．经过思考可以发现：（1）y=56-6x；（2）对于自变量x的取值范围，从关系式上看，发现x可以取任意实数，但这是个实际问题，x必须使实际问题有意义.x代表的实际意义是时间，因此x不能取负数，同时6x≤56，得到x≤．所以x的取值范围是0≤x≤；（3）当工作4小时20分钟后，相当于x=时，把此代入到关系式求出y的值即可．教师活动设计：鼓励学生独立思考，自主探索并寻找问题的答案，在交流中完善自己的结果．〔解答〕略．五、归纳总结、布置作业小结：1．变量与常量；2．函数的定义；3．函数的初步应用．作业：习题11.1第1、2、3、4、8、9题．11.1.3函数的图象[教学目标]1．知识与能力：（1）掌握画函数图象的方法，会画给定函数关系式的函数的图象；（2）会利用函数图象上的点的坐标和函数关系式的关系解决有关问题．2．过程与方法：在探究函数图象的过程中体会研究函数问题的方法，感受函数的数学思想．3．情感、态度与价值观：培养学生耐心细致的学习作风．[重点难点]1．教学重点：利用函数图象解决实际问题．2．教学难点：从函数图象中发现有用的信息，进而解决相关问题．[教学方法]创设情境——主体探究——合作交流——应用提高．[教学过程]一、创设情境，探究画函数图象的方法和理解函数图象的含义问题1：正方形的边长x和面积y有着下列关系：y=x2，其中自变量的取值范围是x＞0.若自变量确定的一个值与它对应的函数值y，确定了一个点（x，y），则（1）计算并填写下表x00.511.522.533.54y（2）你能在直角坐标系内画出上述各点吗？学生活动设计：学生对上述问题独立思考，填写表格.在直角坐标系内描出各点，然后观察点的分布情况，同时想象其他各点的分布情况，然后连接各个点，形成曲线，进而在教师的引导下理解、归纳函数图象的定义．教师活动设计：教师对学生的计算和画图（画图进行展示）给予适当的评价，然后引导学生对函数图象的概念进行交流、归纳．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．巩固练习：画出下列函数的图象：（1）y=x+0.5；（2）．学生活动设计：学生根据问题1的解决过程，自主探究上述两个函数图象的画法，进而归纳在画函数图象时所需要的步骤．教师活动设计：教师组织学生探究函数图象的画法，同时进一步理解函数图象的含义，引导学生对画函数图象的步骤进行总结．画函数图象的一般步骤：（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；（3）连线：按照横坐标从小到大的顺序把所描出的各点用平滑的曲线连接起来．〔解答〕略．二、问题引申，利用函数图象解决实际问题，培养学生的应用意识问题2：图（1）是某日的气温变化图．图（1）你能从这张图上读出哪些信息？学生活动设计：小组讨论、分组合作，然后各小组派一名代表进行全班交流．学生可能提出下列问题进行交流：（1）这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．（2）这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？它们分别发生在什么时间？（3）这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？教师活动设计：此问题的解决主要是让学生在合作解决中体验合作的重要性，加深对函数图象的理解和应用．对于学生从图中发现的正确的信息教师都要适当评价．〔解答〕略．问题3：如图（2），周末小李8时骑自行车从家里出发，到野外郊游，16时回到家里．他离开家后的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的曲线表示．根据这个图象回答下列问题：（1）小李到达离家最远的地方是什么时间？（2）小李何时第一次休息？（3）10时到13时，小骑了多少千米？（4）返回时，小李的平均车速是多少？图（2）学生活动设计：学生独立思考，自主探索，然后进行交流．经过思考，可以发现对于每一个t的值，都有唯一的s与之对应，即s是t的函数.对于问题（1），从纵坐标上看，离家最远的地方是离家30千米处，从横坐标上看出是在14点．对于问题（2），从图中有两段平行于x轴的线段可以知道，小李离家后有两段时间滞留原地不动（或休息或午餐等等），因此第一次休息是第一段，从纵坐标上看是离家20千米的地方，从横坐标上可以看出t=10，即10时进行了第一次休息．对于问题（3），横坐标为10时的纵坐标是20，横坐标为13时的纵坐标是25，因此从10时到13时小李共骑了5千米.对于问题（4），从图中可以看出小李是从14时开始返回的，到家所用的时间是2个小时.同时返回的路程是30千米，于是返回时的平均速度是15千米/时．教师活动设计：通过本题，主要是加强学生利用函数图象解决实际问题的能力，使学生感受函数图象与实际生活的联系．要鼓励学生发现各种各样的信息，从所发现的信息中寻找解决问题的方法．引导学生归纳函数的表示方法：列表法、解析法、图象法.〔解答〕略．三、拓展创新，利用函数解决实际问题，培养学生的创新能力问题4：一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5小时的水位高度．t（时）012345y（米）1010.0510.1010.1510.2010.25（1）由记录表推出这5小时中水位高度y随时间t变化的函数解析式，并画出函数图象．（2）据估计这种上涨的情况还会持续2小时，预测再过2小时水位高度将达到多少米？学生活动设计：学生独立思考，在思考的基础上进行讨论，然后交流．记录表已经通过6组数值反映了时间t与水位y之间的对应关系，现在需要从这6组数值中找出这两个变量之间的一般联系规律，由它写出函数解析式，画出函数图象，进而预测水位．通过观察记录表中的变化规律，可以发现开始水位高10米，以后每隔1小时水位上涨0.05米，于是y=10+0.05t.若再经过2小时，相当于求x=7时y的值．教师活动设计：鼓励学生自主探索，然后引导学生发现不同的函数表示法可以进行互相转化（列表法——图像法）．〔解答〕y=10+0.05t（0≤t≤7）.图象（略）．当t=7时，y=10+0.05×7=10.35．即2小时后，水位将达到10.35米．四、归纳小结、布置作业小结：本节课你获得了什么知识、遇到了什么问题？解决问题时用到了什么方法？作业：习题11.1第5、6、7、10、12题．