可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程一阶微分方程有时也写成如下对称形式P(x,y)dxQ(x,y)dy0,在这种方程中,变量x与y是对称的若把x看作自变量、y看作未知函数,则当Q(x,y)0时,有),(),(yxQyxPdxdy若把y看作自变量、x看作未知函数,则当P(x,y)0时,有),(),(yxPyxQdydx如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx(或写成y(x)(y))的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含y的函数和dy,另一端只含x的函数和dx,那么原方程就称为可分离变量的微分方程例1讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？(1)y2xy,(2)3x25xy0,(3)(x2y2)dxxydy=0,(4)y1xy2xy2,(5)xyyxy解(1)是(2)是(3)不是(4)是(5)不是二、可分离变量的微分方程的解法解可分离变量的微分方程的一般步骤：第一步分离变量；将方程写成g(y)dyf(x)dx的形式；第二步两端积分dxxfdyyg)()(,设积分后得G(y)F(x)C；第三步求出由G(y)F(x)C所确定的隐函数y(x)或x(y),G(y)F(x)C,y(x)或x(y)都是方程的通解,其中G(y)F(x)C称为隐式(通)解例2求微分方程xydxdy2的通解解此方程为可分离变量方程,分离变量后得叙述定义举例加深印象探讨解法xdxdyy21,两边积分得xdxdyy21,即ln|y|x2C1,从而2112xCCxeeey因为1Ce仍是任意常数,把它记作C,所给方程的通解2xCey例3铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0,求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律解铀的衰变速度就是M(t)对时间t的导数dtdM由于铀的衰变速度与其含量成正比,故得微分方程MdtdM,其中(0)是常数,前的曲面号表示当t增加时,M单调减少,即0dtdM由题意,初始条件为M|t0M0将方程分离变量得dtMdM两边积分,得dtMdM)(,即lnMtlnC,也即MCet由初始条件,得M0Ce0C,所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0et例4设降落伞从跳伞塔下落后,所受空气阻力与速度成正比,并设降落伞离开跳伞塔时速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系解设降落伞下落速度为v(t)降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数)根据牛顿第二运动定律Fma,得函数v(t)应满足的方程为kvmgdtdvm,初始条件为v|t00方程分离变量,得举例掌握公式运用mdtkvmgdv,两边积分,得mdtkvmgdv,1)ln(1Cmtkvmgk,即tmkCekmgv(keCkC1),将初始条件v|t00代入通解得kmgC于是降落伞下落速度与时间的函数关系为)1(tmkekmgv例5求微分方程221xyyxdxdy的通解解方程可化为)1)(1(2yxdxdy,分离变量得dxxdyy)1(112,两边积分得dxxdyy)1(112,即Cxxy221arctan,于是原方程的通解为)21tan(2Cxxy例6有高为1m的半球形容器水从它的底部小孔流出小孔横截面面积为1cm2开始时容器内盛满了水求水从小孔流出过程中容器里水面高度h随时间t变化的规律