基于三角模糊数的凸合成模糊对策解的结构

基于三角模糊数的凸合成模糊对策解的结构摘要将凸合成模糊对策的特征函数用三角模糊数的形式表示出来，并以三角模糊数表示局中人的参与度，从而建立了一个新的凸合成模糊合作对策的模型。在此模型的基础上，给出了凸合成模糊对策的三角核心和三角稳定集，并证明了上述解可由子对策的核心和稳定集表达出来。关键词三角模糊数；模糊对策；三角核心；三角稳定集中图分类号O225文献标识码ATheStructureofSolutionsofConvexCompoundFuzzyGameBasedonTriangularFuzzyNumberPEIHucheng,GAOZuofeng（CollegeofScience,YanShanUniversity,Qinhuangdao,Hebei066004,China）AbstractAnewmodelofconvexcompoundfuzzygamethatthecharacteristicfunctionandplayerinvolvementarebasedontriangularfuzzynumberisgiven.Onthebasisofthismodel,thetriangularcoreandtriangularstablesetofconvexcompoundfuzzygamewasgiven,whichwasprovedtobeexpressedbytheircorrespondingsubgame.Keywordstriangularfuzzynumber；fuzzygame；triangularcore；triangularstableset1引言自引入合作对策［1］以来，局中人之间如何合理分配总收入的问题得到了广泛的研究。特别是J.vonNeumann和O.Morgenstern于1944年提出合成对策［2］以来，Aubin.J.P将模糊和对策结合起来，提出了模糊合作对策的概念［3］。1994年，赵景柱［4］提出了一种新的合成模糊对策——和-合成模糊对策，并研究了这种对策的稳定集。刘广智等［5,6］提出了一般化合成模糊对策，并探讨了这类合成模糊对策解的结构。高作峰等［7］提出了凸合成模糊对策模糊，并研究了凸合成模糊对策的稳定集。文献［8］研究了模糊核心的限制非空性，个体合理性和递归对策性等性质，刻画并证明了核心的存在唯一性。张强等［9］提出了区间合成模糊对策，给出了区间合成模糊对策解的概念。2基本定义=aL,a,aR，其中aL≤a≤aR，aL和aR分别是所支撑的上界和下界，而a为中值，则称为一个三角模糊数，其特征函数可表示为［10］μa（x）=x-aLa-aL,aL≤x≤a;x-aRa-aR,a≤x≤aR;0,其他本文所讨论的三角模糊数均为非负三角模糊数，即=aL,a,aR，aL≥0.定义1记=aL,a,aR，=bL,b,bR为两个非负三角模糊数，则相关运算为：（ⅰ）——=——aL,——a,——aR，（ⅱ）+=aL+bL,a+b,aR+bR，（ⅲ）——=aL——bR,a——b,aR——bL，（ⅳ）=aLbL,ab,aRbR，（ⅴ）/=aL/bR,a/b,aR/bL，＞0，（ⅵ）k+=k+aL,k+a,k+aR，k为任意实数，（ⅶ）——k=aL——k,a——k,aR——k，k为任意实数，（ⅶ）k=kaL,ka,kaR，k≥0，（ⅷ）/k=aL/k,a/k,aR/k，k＞0.定义2记全体局中人集合N=1,2,…，n，P（N）为N的全体幂集组成的集合，任意k∈P（N）为三角模糊联盟，用模糊集合的特征函数表示为：k:P（N）→（i）=（kL（i），k（i），kR（i）），支付函数（k）=L（k），（kR（k））表示三角模糊联盟的收益，其中（k）是定义在P（Nn上的映射，即：P（Nn=0，称（N,）是以给出的以N为局中人集合的nn中的任一元素为一个三角模糊联盟，的第ii称为局中人i参加模糊联盟的参加度。定义3记为三角模糊对策，：P（N0,1n，令/i=（0,0,i,0,…，0）则称集合（）={|n,i∈Ni=（N），ii≥（/ii∈N,∈0,1n}为对策的三角模糊分配集。定义40,1n，≠0ii（i∈ki∈kii≤（），则称通过模糊优超，其中k（）={i|i≠0,i∈N}，Dom={|∈（），＞},Dom=Dom定义5设N1，N2，…，Nm是m个非空集合，且满足Ni∩Nj=i≠j），n1=N1（i=1,2,…，m0,1n1,10,1n2,20,1nm,m）是m个三角模糊对策，令N=∪mi=1Ni，n=N0,1n,1,2,m的三角凸合成模糊对策，记为=∑mi=1λii，其中0＜λi＜1，且∑mi=1λi=1，（）=∑mi=1λii（/Ni=0,1n这里，/Ni=j1,j2,jni），j1,j2,…，jni∈Ni，i=1,2,…，m.3三角凸合成模糊对策的三角核心和三角稳定集定义6记N=1,2,…，n0,1n,）为三角凸合成模糊合作对策，记（）为三角凸合成模糊合作对策的三角核心，其中（）={/0,1n,i∈Ni=（e），i∈Nii0,1n}.定理10,1n1,10,1n2,20,1nm,m）是m个三角模糊12m12m1,2,m的三角核心，则∏mi=1（λii）是的一个三角模糊核心，即（）=∏mi=1（λii）。证明12m的三角凸合成模糊对策，所以，Ni∩Nj=i≠j）。令N1={1,2,…，n1},N2={n1+1,n1+2,…，n1+n2},…Nm={m——1j=1nj+1,m——1j=1nj+2,m——1j=1nj+nm}.首先证明mi=1（λii），（1）对任意∈（），有i∈Ni=（e），（2）且i∈Nii0,1n.（3）令=12m，其中1=11,12,1n1），2=2n1+1,2n1+2,2n1+n2），…m=mm——1j=1nj+1,mm——1j=1nj+2,mm——1j=1nj+nm），10,1n1，记=1×02×…×0m020,1n20m0,1nm带入式（3i∈n1λ11i1i=i∈nλiii≥（）=λ11（/N1）+λ22（/N2）+…+λmm（/Nm）=λ111）+λ22（02）+…+λmm（0m），即i∈n1λ11i1i≥λ11110,1n1.（4）同理可得i∈n2λ22i2i≥λ222）,（5）i∈nmλmmimi≥λmmm）。（6）i=ei=（1,1,…，10,1ni（i=1,2,…，m），则由式（4），式（5），式（6）得i∈n1λ11i≥λ11（e1），（7）i∈n2λ22i≥λ22（e2），（8）…i∈nmλmmi≥λmm（em）。（9）事实上i∈n1λ11i=λ11（e1），（10）i∈n2λ22i=λ22（e2），（11）…i∈nmλmmi=λmm（em）。（12）因为，若式（10），式（11），式（12）中有一个不成立（不妨假设式（10）不成立），那么由式（7）可知：i∈n1λ11i＞λ11（e1），（13）于是由式（8），式（9），式（13）可得i∈ni=i∈n1λ11i+i∈n2λ22i+…+i∈nmλmmi＞λ11（e1）+λ22（e2）+…+λmm（em）=λ11（e/N1）+λ22（e/N2）+…+λmm（e/Nm）=v（e）。（14）而式（14）与式（2）矛盾，所以式（10），式（11），式（12）成立。由式（4），式（5），式（7），式（8），式（9）可得：x/Ni∈（λii），即∈（λ11）×（λ22）×…×（λmm）。mi=1（λii）。下面证明∏mi=1（λii对1122mm）有i∈n11i=1（e1），（15）i∈n11i1i1110,1n1,（16）i∈n22i=2（e2），（17）i∈n22i2i2220,1n2,（18）…i∈nmmi=m（em）,（19）i∈nmmimimmm0,1nm,（20）记=λ11×λ22×…×λmm，则由式（15），式（17），式（19）得i∈ni=i∈n1λ11i+i∈n2λ22i+…+i∈nmλmmi=λ11（e1）+λ22（e2）+…+λmm（em）=λ11（e/N1）+λ22（e/N2）+…+λmm（e/Nm）。（21）0,1n，可表示为=12mi=/Ni（i=1,2,…，mi0,1ni（i=1,2,…，m）。于是由式（16），式（18），式（20）可得i∈nii=i∈n1λ11i1i+i∈n2λ22i2i+…+i∈nmλmmimi=λ111）+λ222）+…+λmmm）=λ111/N1）+λ222/N2）+…+λmmm/Nm）=v（）。即i∈nii≥v（）.（22）由式（20），式（21）两式可得：=λ11×λ22×…×λmm∈（），即∏mi=1（λii综上所述得（）=∏mi=1（λii）。定义7设为三角模糊对策，如果（）的非空子集满足Dom=Dom=（），则称为的一个三角模糊稳定集，记为（）。定理20,1n1,10,1n2,20,1nm,m）是m个三角模糊12m的三角凸合成模糊对12m1，2m的一个模糊稳定集，则的一个三角模糊稳定集是∏mi=1（λii），即（）=∏mi=1（λii）。证明1,2,m的三角凸合成模糊对策，所以，Ni∩Nj=i≠j.令N1=1,2,…，n1,N2=n1+1,n1+2,…，n1+n2,…Nm=m——1j=1nj+1,m——1j=1nj+2,m——1j=1nj+nm.首先证明∏mi=1λii（23）mi=1λii，即=λ11×λ22×…×λmm，其中1=11,12,1n1,2=2n1+1,2n1+2,2n1+n2,…m=mm——1j=1nj+1,mm——1j=1nj+2,mm——1j=1nj+nm,有ijj=ijijii|j,j∈Ni,i0,1ni,i=1,2,…，m,（24）且j∈niλij=j∈niλiij=λiiei,ei=1,1,…，10,1ni,i=1,2,…，m.（25）0,1n，有|j/Ni=/Ni|j,j∈Ni,i=1,2,…，m.1/Ni0,1n1,i=1,2,…，m，所以由式（24）得ij=/Niji/Ni|j=i/Nj|i=i/j,j∈Ni,i=1,2,…，m.（26）由式（25）得j∈Nj=j∈N1λ1j+j∈N2λ2j+…+j∈Nmλmj=λ11e1+λ22e2+…+λmmem=λ11e/N1+λ22e/N2+…+λmme/Nm=e.（27）23）成立。首先证明∏mi=1λii∩Dom∏mi=1λii=.（28）用反证法证明。假设∏mi=1λiiDommi=1λiimi=1λii，使得0,1n，≠0，使ii,i∈，（29）且iii≤，（30）显然=∪mi=1/Ni，而，所以式（30）可写为i∈/N1λ1ii+i∈/N2λ2ii+…+i∈/Nmλmii≤λ11/N1+λ22/N2+…+λmm/Nm.（31）记h=i:/Nii=1,2,…，m，则可由式（31l∈h，使得i∈/N1λ1ii≤λll/Nl.（32）否则i∈/N1λ1ii+i∈/N2λ2ii+…+i∈/Nmλmii＞λ11/N1+λ22/N2+λmm/Nm.这与式（31）矛盾，所以式（32）成立。因为,∈∏mi=1λii,所以=/N1×/N2×…×/Nm，=/N1×/N2×…×/Nm,其中/Nl,/Nl∈Sl.（33）由式（29）和式（32）知，/Nl通过/Nl优超/Nl，即/Nl＞/Nl,（34）式（33）与式（34）矛盾，从而式（28）成立最后证明∏mi=1λiiDommi=1λii=，方法类似于文献［7］中关于4结论本文在前人研究的基础上将凸合成模糊对策的特称函数和局中人的参与度以三角模糊数的形式表示出来，建立了一个新的凸合成模糊对策的模型，并得到出了这种对策的三角核心和三角稳定集与子对策的三角核心和三角稳定集的关系，对于模糊合作对策的其他研究有一定的参考价值。参考文献［1］谢政。对策论［M］。长沙：国防科技大学出版社，2004.［2］JVONNEUMANN,OMORGENSTEM.Theoryofgamesandeconomicbehaviour［M］。2nd.Princ