基于抛物方程方法的等折光指数楔体的高频散射

1基于抛物方程方法的等折光指数楔体的高频散射RobertoD.Graglia,Fellow,IEEE,GiuseppePelosi,Fellow,IEEE,andStefanoSelleri,Member,IEEE摘要：等折光指数楔体被平面波或平行于楔边的线电流照射时，其高频散射电磁波可用抛物方程（PE）方法来计算。该PE方法能处理任意楔形孔及入射角的问题，并能以其独特的方法解决在求解数值解的过程中所出现的一系列问题。关键词：绕射，抛物方程，透波楔体1引言透波楔体的绕射理论是很重要的，但目前为止还没有形成一套完整的理论。然而，透波楔体在模拟真实物体方面具有重要意义。最近的研究得到了一些有关透波楔体的可靠结论，但是大都没有彻底解决透波楔体的折射问题。例如：放置在两个无限薄的阻抗薄片[1]与等折光指数（或透波）的楔形介质[2]-[4]中间直角转接器的确定，假设该楔形介质的电磁参数分别为ε2、μ2，周围材料电磁参数为ε1、μ1，且满足ε2μ2=ε1μ1。若要研究复杂的不等折光指数楔体，首先就要清楚等折光指数楔体的场分布。文献[2]利用时谐场中Kantorovich-Lebedev变换法对等折光指数楔体的散射进行了分析。该方法适用于标准高频技术的渐进估计，并且得出的结论还可用于Sommerfeld-Malyuzhinets谱的研究[5][6]。这是由于根据Sommerfeld积分（SI）反演公式与Kantorovich-Lebedev谱域之间的关系对谱函数进行重构所导致的。但是要注意到原点处存在非零场，并且上述关系是基于SI形式的圆柱贝塞尔函数的[7]。抛物方程（PE）方法可以灵活高效的求解楔体的高频数值解[8][9]。对于阻抗楔体，最近也有新的PE解法被提出，并且一种针对等折光指数楔体的PE解法已经初步在学术会议中提出来[10][11]。在解决此类问题时，要注意抛物方程有限差分迭代方法的起点的确定问题，以及文献[11]中所提到的稳定性问题。本文沿用文献[10]和[11]的结论，提出了能够解决这些问题的新方法。2公式推导假设有一夹角为α，电磁参数为ε2、μ2的楔体，相对于周围介质（ε1、μ1）来说此2楔体是等折光指数的，且波数为k=k1=k2。该楔体由幅度为A0、入射角为ф0的平面波或者幅度为A0、从（ρ0，ф0）点发出平行于楔边的线电流照射（图1）。此例中只考虑TMz（Ez）极化方式，TEz（Hz）极化方式与之类似。图1平面波（左）、平行于一边的线电流（右）照射等折光指数楔体本文所用坐标系（ρ,ф）的ф=0轴位于楔体的内部，且两楔面位于ф=±α/2角度处。根据文献[12]中的对切法将最初的问题划分为对称（偶）和非对称（奇）两个子问题（图2），即完全传导平面上α/2角处透波楔体的问题（完全磁导体（pmc）——偶对称；完全电导体（pec）——奇对称）。这样划分使得最初问题的解决变得相对简单。并且相对于传统的渐进技术，PE方法大大简化了此类问题的求解。关于对切法的应用后文将会做详细的分析。图2根据对切法将初始问题划分为偶对称和奇对称两个子问题楔体的总场zE可以看作是几何光学（PO）场gozE与绕射场dzE的合成，其中的绕射场消除了GO场的不连续性。PE方法就是由此衍生而来。上述绕射场的分布形式与柱3面波相同，并且可被分解为一个慢变项U(ρ,ф)及一个快变相位项e-jkρ，故jkdzeUE),(。高频条件下，利用椭圆亥姆霍兹差分方程中得出的绕射场，即可得到一个抛物差分方程，该方程是对初始问题在kρ1条件下的近似解（参考文献[8]、[9]）。正如上述文献中所提到的，PE可由空间步进（ρ）的FD法高效求解。该求解过程涉及到GO场、楔面绕射场的边界条件以及合适的起点ρ=0。对于慢变项，只要确定楔体内部反射次数有限，并且确定平面或者柱面波的幅度、方向及照射区域，该pmc或pec半楔面的GO场就能计算得到（图3）。值得注意的是，等折光指数介质表面的反射系数、透射系数与波的入射角无关，因此该方法对于线电流激励时的求解也是很简单的。设波从介质1传播到介质2时，用Γ1→2、T1→2分别表示其反射系数和透射系数。相应的，波从介质2传播到介质1时，用Γ2→1、T2→1分别表示其反射系数和透射系数。对于完全传导平面，反射系数和透射系数分别为Γ[pmc,pec]=±1、T[pmc,pec]=0。因此，各个波的幅度Ai，i=1,...,N可表示为（1）式中，i=4m，当m为整数或者0时ψi=1。很明显，无论m取何值都有A4m+3=0成立。对于所关心的方向有（2）图3入射平面波时的多内部反射当入射波方向在[π，π+α/2]范围内变动时，楔体内部不会产生任何反射波，此时迭代终止。上述幅值和角度的计算对于平面波和线电流的情况都是适用的。但是在线电流情况4下，需要说明其像电流产生的反射和投射场与之相同：ρi=ρ0，i=1,...,N。上述波所在角域的公式也同样适用于平面波和线电流的情况，其推导可以由公式（2）直接演算过来。必须强调的是，除了上述平面波，还有至少一种来自于反射场的波照射到pmc或pec平面上。此波的幅值为A[pmc,pec]=Γ[pmc,pec]，其方向为π-ф0，其存在区域为[π-ф0，π]。此外，可能还有向外传播的反射波（即下标为4m+1的波），当相应的фi落在[0，π]范围内时，此波就会被pmc或pec反射出去（图3中均未标出）。由于k1=k2的关系，等折光指数介质面不存在任何表面波。当ф=0，π时，电磁场在交界面存在标准的pmc或pec边界条件。当ф=α/2时，该条件为（3）所有的这些条件都是线性的，并且可以证明GO场是满足条件的，因此常规绕射场及特殊的U也都必须要满足这些条件。另一方面，位于ρ=0处的起点也是一个很大的问题。文献[1][10][11]中都提到了，无法精确计算透波楔体在该点处的场。这些文献同时证明，由于系统矩阵中非对角项与主对角线相距太远，导致ф=0，2π处的场不连续，使得FD方法求解透波楔体时存在稳定性的问题。特别是这一不稳定性对线电流照射时的数值解产生一定影响[11]。到此为止证明，将初始问题划分为两个独立的、非透波子问题的方法是正确的。因此，在用传统的幂级数展开方法[8][13]计算起点场值时就没有任何的不确定性了，并且由于系统矩阵转换成为三对角的形式使得稳定性问题得以消除[13]。3数值结果首先考虑自由空间中一个夹角为α=60°，电磁参数分别为ε2=4ε0、μ2=μ0/4的楔体模型。单位振幅（A0=1）平面波由ф0=70°角，即与楔体上表面成45°角的方向入射。图4显示了前述问题在kρ=1条件下GO场、绕射场及总场的电场模值，并且显示了偶对称、奇对称的情况，以及其与原始问题解决方案之间的关系。图中灰色区域标示了楔体内部的解决方案。特别需要注意的是在105°处偶对称场和奇对称场的非物理不连续性。这是由入射波从ф=180°角入射到pmc和pec平面上所引起的。当然，这一不连续性在重构的GO场5和绕射场中就消失了。GO场的不连续性也正好被绕射场排除掉了。GO场和绕射场在ф=30°和ф=300°处均满足式（3），所以总场也是满足的。图4平面波由ф0=70°入射到夹角为α=60°等折光指数楔体：偶对称、奇对称及完全情况下的GO场（上）、绕射场（中）、总场（下）图5给出了前述问题在kρ∈[0,20]条件下总场的幅值，以得到更好的可视化结果。为了清晰起见，图中只标示了楔面所在位置，并没有将所有的楔体区域涂成灰色。PE方法的计算结果收敛于物理解在kρ1条件下的值[8]。第二个例子就是同样的楔体被位于kρ0=5，ф0=75°方位处的单位线电流源照射。图6给出了该例在偶对称、奇对称及在kρ=10重构条件下的GO场、绕射场和总场的场值，图7给出了例子中总场的幅值。即使该结果与文献[2]中的实测结果相一致，二者的还是要做出对比的。但是，由于实测结果主要关注靠近楔体边缘的场，而本文提出的方法却是在条件下才能得到精确场值的，所以没有给出二者的对比分析。6致谢作者向给出本文良好建议的意大利比萨大学的P.Nepa教授致以崇高的谢意。图5平面波入射到等折光指数楔体上：总场振幅等值线图6kρ0=5，ф0=75°方位处线电流照射夹角为α=60°的等折光指数楔体：偶对称、奇对称及完全情况下的GO场（上）、绕射场（中）、总场（下）7图7线电流照射等折光指数楔体：总场振幅等值线参考文献[1]G.Pelosi,S.Selleri,andG.Manara,“Scatteringfromthejunctionofaperfectlyconductinghalf-planeandaresistivesheet,”MicrowaveOpt.Technol.Lett.,vol.18,no.2,pp.85–86,June1998.[2]L.Knockaert,F.Olyslager,andD.DeZutter,“Thediaphanouswedge,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.45,pp.1347–1381,Sept.1997.[3]R.W.ScharsteinandA.M.J.Davis,“Time-domainthree-dimensionaldiffractionbytheisorefractivewedge,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.46,pp.1148–1158,Aug.1998.[4]P.L.E.Uslenghi,“Exactscatteringbyisorefractivebodies,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.45,pp.1382–1385,Sept.1997.[5]G.D.Malyuzhinets,“RelationbetweentheinversionformulasfortheSommerfeldintegralandtheformulasofKantorovich-Lebedev,”SovietPhysicsDoklady,vol.3,no.2,pp.266–268,1958.[6],“Excitation,reflectionandemissionofsurfacewavesfromawedgewithgivenfaceimpedances,”SovietPhysicsDoklady,vol.3,pp.752–755,1958.[7]G.Pelosi,G.Manara,J.M.L.Bernard,andA.Freni,“Diffractionbyaplanarjunctionofaperfectlyconductingandaperiodicallyloadedimpedancesurface,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.41,pp.1516–1522,Nov.1993.[8]G.Pelosi,S.Selleri,andR.D.Graglia,“Numericalanalysisofthediffractionatan8anisotropicimpedancewedge,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.45,pp.767–771,May1997.[9]G.PelosiandS.Selleri,“AnumericalapproachforthediffractionofaGaussianbeamfromaperfectlyconductingwedge,”IEEETrans.AntennasPropagat.,vol.47,pp.1555–1559,Oct.1999.[10]R.D.Graglia,G.Lisi,G.Pelosi,andS.Selleri,“Applicationoftheparabolicequationmethodtothescatteringfromadiaphanouswedge,”inProc.IEEEAPS/UR