基于数据处理的加速度检验仪数据校正

第七届华中地区大学生数学建模邀请赛承诺书我们仔细阅读了第七届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们的参赛报名号为：10614001参赛队员(签名)：队员1：张哲队员2：沈嘉俊队员3：张威武汉工业与应用数学学会第七届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会第七届华中地区大学生数学建模邀请赛编号专用页选择的题号：A参赛的编号：10614001（以下内容参赛队伍不需要填写）竞赛评阅编号：1第七届华中地区大学生数学建模邀请赛题目：基于数据处理的加速度检测仪数据校正研究摘要本文先通过所收集的加速度的数据，使用加速度-速度，速度-位移的物理公式，通过数值积分的方法求出声屏障的速度和位移，发现曲线不符合实际情况，需要对数据进行校正。经过分析发现，加速度数据的偏差主要由随机误差和系统误差两大误差产生。对于随机误差，本文采用了对一点取周围点平均值的方法，运用累加取平均值的方法大致消除了随机误差的影响，得到一条较为平滑的加速度曲线。对于系统误差，根据观察，本文假设系统误差和真实加速度的绝对值有着线性关系，进而求出系统误差和真实加速度的一次函数关系。将收集来的信号，经过取周围平均的方法消除随机误差后，减去系统误差函数，就得到了校正后的加速度数据。我们继续对经过校正的加速度数据进行累加积分和二次累加积分，分别得到速度曲线和位移曲线。发现三种情况下，速度最终均趋于0，位移最终均趋于一个常数。符合实际的物理情况。关键字：数据校正，累加，随机误差，系统误差，真实数据2一、问题的提出声屏障是减少交通路线给附近环境带来噪声的有效方法之一。快速经过声屏障的列车会产生脉动风对声屏障产生冲击，对声屏障产生拉压作用，使声屏障发生摆动。如果摆动过于剧烈，超出一定范围，则需要对声屏障进行维修。由于维修费用高昂，人们需要声屏障的加速度检测仪对声屏障的工作状态进行检测，有针对的对声屏障进行维修。由于加速度检测仪的收集的数据存在误差，不能真实反映出声屏障的工作状态，所以需要对加速度收集的数据进行校正。二、问题分析由题目所给数据，使用数值积分方法得到的速度和位移图像，是不符合实际的。这说明我们采集的加速度数据有一定的误差。我们从随机误差和系统误差两个方面考虑：可以通过累加取平均值的方式来降低随机误差的干扰；系统误差可能是一个关于检测仪受到脉动风力的函数。通过这两个思路，对问题求解展开思路。1、随机误差查阅网站[1]可得知，随机误差是由于在测定过程中，一系列有关因素微小的随机波动而形成的具有相互补偿性的误差。它的特点是大小和方向都不固定，有正有负，随着测量次数的增加，正负误差可以相互补偿，误差的平均值将逐渐趋向于0。随机误差的统计规律是，正负误差出现的几率相等，小误差出现的机会多，大误差出现的几率小，总体按照误差大小服从正态分布。对于每一个时间样本，我们可以通过取它周围的5个点的算数平均值。如此操作若干次，可以间接消除随机误差对收集来的数据的干扰。2、系统误差查阅网站[2]可以得知，系统误差是在一定测量条件下，对同一个被测尺寸进行重复测量时，误差值的大小和符号（正值或者负值）不变，或者在条件变化时，按照一定规律变化的误差。它的特点是，测量结果按照一个方向偏移，其数值变化具有一定的规律性，具有重复性和单向性。考虑到我们的加速度检测仪的测量方法已经确定，并且得到的结果随条件变化而改变，所以我们假设系统误差和加速度的真实值成一定的比例关系。3、随机误差的检验可以将去除随机误差之后的数据与原始数据相减。如果相减后的结果在频数3上服从正态分布，则说明消除的的确是随机误差。4、对真实值的检验如果经过校正后我们得到的加速度的数据值，经过数据积分，如果它们符合物理规律，是一组在无脉动风冲击下速度值为零，位移也为零的值，就说明我们对数据的校正是合理的。三、假设假设1：加速度检测仪收集的数据只受到了系统误差和随机误差的干扰，除了这两个干扰并没有其他影响数据的因素存在。假设2：有信号时检测仪的系统误差与加速度的绝对值成线性关系。由于有信号输入的时候系统误差不是常数值，为了描述他们的关系，简单起见，作出上述假设。假设3：查阅资料，可设定检测仪的随机误差服从均值为0的正态分布假设4：声屏障受到一次脉动风冲击，它的初速度和末速度为0。声屏障收到两次脉动风冲击，它的位移接近于0。根据物体运动事实，做出如上述假设。假设5：为了与无脉动风冲击段相吻合，因此我们将两个连续的无脉动风时段和有脉动风时段合成一段。并且认为这两段的系统误差关于真实值的函数是同一个一次函数。四、模型符号说明1、kt，it——第k/i个时间点2、][ta——对于每个时间点采集的加速度数据3、)(tf——对于每个时间点的真实加速度4、)(ts——对于每个时间点的系统误差5、)(tN——对于每个时间点的随机误差6、)(tah——消除随机误差之后的加速度数值7、)(tv——对于每个时间点声屏障的真实速度8、)(tvs——对于每个时间点系统误差产生的速度偏移9、)(ty——通过加速度的累加得到的速度410、)(tx——对于每个时间点声屏障的真实位移11、)(txs——对于每个时间点系统误差产生的位移偏移12、ik——第i段脉动风作用段，在有脉动风时影响产生的系统误差与加速度真实值的绝对值的比例关系。13、ib——第i段脉动风作用段无脉动风影响时的系统误差。五、基于原始数据的声屏障运动仿真由于采样频率是1000Hz，所以每两点间的时间间隔非常小，在每个小时间间隔内，可以近似认为声屏障的速度改变和位移改变都是匀速的，于是，我们给出如下的速度和位移计算公式：kiiiikhtttatv11))(()(kiiiiktttvtx11))(()(正文中给出A到B的加速度-时间，速度-时间，位移-时间图像（其他关于利用原始数据的数值积分得到的图像见附录）：5根据上面的积分公式，可以发现在数值积分的过程中，随机误差产生的速度偏移已经被消除，因累加得到的系统的速度只含有系统误差产生的速度偏移。对于位移而言，随机误差也被消除了，产生的误差也只有系统误差产生的累计位移偏移。六、对于检测仪加速度数据的校正我们现在已知得到的加速度数据，是由真实加速度，系统误差和随机误差共同组合而成的，即：)()()()(tNtstfta61、随机误差的消除和检验由于系统的随机误差是为均值为0的正态分布，因此对同一段下的加速度数据，取多个样本值，累加取平均值，可以消除正态分量影响。5)()()()()()(2112iiiiiihtatatatatata重复40次，样本数接近200，因此可以认为近似消除了随机误差的影响。下图是原始数据经过消除操作后得到的三个加速度关于时间的图像：7然后，我们检验消去的误差是否是正态分布的随机误差。我们将消除了随机误差的加速度数据与原始加速度数据相减，对得到的数据进行统计。发现这些数据服从正态分布，的确是随机误差。82、系统误差的消除和检验通过观察去除随机误差数据之后的图像，我们猜测对于每段脉动风影响的情况，系统误差和加速度的导数的绝对值（这里的加速度指的是真实的加速度f(t)）成线性关系，即：iibtfkts)()(在无脉动风影响时，0)(tf即没有脉动风时，由于我们得到的速度函数是匀速上升的函数，所以我们认为系统误差是为ib的常数。但是发现，在各组数据中无脉动风影响段，其系统误差ib不一样，具体见下表：A到BC到D一个来回E到F两个来回b10.02400.03860.0386b2/0.04240b3/0.0060b4//0b5//0.0424对于有脉动风影响的情况，有相邻的脉动风作用时间间隔很短，对于后一个脉动风作用段，没有b的影响，可以认为b为0。若假设，在有脉动风影响段系统误差仍然为无脉动风影响时的b的话，则发现对于已消去随机误差的x（t），去除b这个影响后，再积分，也与实际不相符合，对于三组数据都有一定差距，（对于速度)(tv该为0的地方不是零。）因此我们考虑，有信号输入时的系统误差不仅与ib有关，还与真实值的绝对值有关。我们引入了一个系统误差和加速度数绝对值的关系系数ik，由于)(ts作为系统误差，产生的对速度的偏移，相比)(tf产生的速度的变化应该比较小，因此，对)(ktf的讨论，为了方便，我们近似认为是对ikhbta-)(9的讨论。于是：0)(ikhbta1)()(iikhkkbtatf，iiikhikbkbtakts1)()(0-)(ikhbtaiikhkkbtatf1)()(,iiikhikbkbtakts1)()(10由于)))(()(()(11iiikiiktttstfty，而)(ktv有数据不符合实际物理规律的地方，也即在一次脉动风冲击后，速度事实上应该归于0，但此时并非于0，为了使修正后的符合实际情况，让kiiiiktttftv11))(()(作为理想情况，即让最终速度0))(()(11iiiitttftv，因此，对于在冲击刚刚结束时的时间t处应有)()()()))(()(()(11tvtvtvtttstftyssiiiii，而根据假设，对于特定t值处有)()(issktv,即说这是ik的函数即)()(1tfktviis。解出ik，即为此影响段的ik值。于是，我们求得以下结果：A到BC到D一个来回E到F两个来回k1-0.1084-0.2569-0.0618k2/-0.0880-0.0983k3//-0.2279k4//-0.0541然后我们得到真实值：)()()()(tNtstatf以下是利用这种方法求解出的三次情景的速度-时间和位移-时间关系：1112由上图可见，三个情景收集来的数据，经过校正再累加积分之后，得到的结果，速度最终为0，位移最终接近一个常数值，均较符合事实结果。七、模型的评价和改进1、模型优点采用多次取样求平均的方法，利用随机误差为均值为0的正态分布，来消除随机误差，在理论上具合理性，并且简单易行，另外经过检验，也证实了消除的为正态分布的随机量对于每次脉动风影响我们虽然都采用的是线性模型去描述系统误差和实际测量值得绝对值之间的关系，但由于不同的影响下，比如列车经过的速度不一样，13等等，我们认为ik，ib虽然在一个影响段内为定值，但在不同的影响情况下是不一样的，使得模型具有适用性整个模型未用上复杂的计算，在保证了合理性的情况下，使修正后的图像可以快速得到，具有实时性。2、模型缺点我们仅仅是从线性模型去描述系统误差和实际测量值得绝对值之间的关系，在第二组数据的修正后的真实位移图中可以发现，仍然有一点小小的偏移，可能线性模型不是最合适的。我们并没有采用插值法积分，牛顿插值积分，龙格积分等，而是从积分原理的角度近似进行的积分，可能误差会略大于上述方法产生的误差3、模型改进由于，对于数值积分中，当项数较大时，可以去除随机误差的影响。可以试着先对)(ktx用插值法积分得)(kty，再对)(kty进行拟合得)(ty，对)(ty数值微分得)(khtx的方法反过来去除随机误差的影响将系统误差和实际测量值之间关系变为ikikbtfkts)()('，的关系11')()()(kkkkktttftftf，用差分方程解决.八、模型推广本模型代表了一类实际问题：采集来的数据，由于误差的引入，经过重重运算之后，所得到的数据模型与实际不符。这个时候我们就需要对采集来的数据进行处理和校正。我们所采用数据处理方法可以检测是否有明