基于时,频域数字坐标重叠技术的信号处理研究

小型微型计算机系统2007年月第期JournalofChineseComputerSystemsVol.28No.2007收稿日期：2007--基金项目：国家自然科学基金（No.60173041）作者简介：梁建武，男，高级工程师，研究方向为信号处理，网络安全与认证；何志斌，男，在读研究生，研究方向为信号处理，网络电话h基于时、频域数字坐标重叠技术的信号处理研究梁建武1，何志斌21（中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙410075）2（中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙410075）E-mail：[e-mail]摘要：文章通过快速傅里叶变换(FFT)对原始信号时域转换频域过程及其相互的特性作了深入的研究，并分析了折叠频率、最大分辨频率、采样频率特性及其关系,在此基础上提出了采用比例系数来换算数字坐标的算法,使时、频域数字坐标重叠。在这种数字化重叠坐标中,计算机对滤除或提取某一频率带来很大方便和直观。仿真实验表明该方法对信号处理具体的实现提供了简单实用的方案,给当前信号处理的研究提供了一个新的思路。关键词：时域；FFT；频域；坐标重叠；信号处理中图分类号：文献标识码：文章编号：StudyonDigitalSignalProcessingBasedontheTime-DomainandFrequencyDomainTechnologyCoordinateOverlappingResearchLIANGJian-wu1，HEZi-bin21（CollegeofInformationScienceandEngineering,CentralSouthUniversity,Changsha410075,China)2（CollegeofInformationScienceandEngineering,CentralSouthUniversity,Changsha410075,China)Abstract:ThisarticlestudiesonoriginalsignalfromTime-DomaintoFrequency-DomainconversionprocessandtheircharacteristicsthroughFFT.Thenitanalysisthecharacteristicsofthefoldingfrequency,thegreatestfrequencyresolutionandthesamplingfrequencyandtheirrelations,ItputsforwardaalgorithmthroughConversionfactorproportionaltothenumberofcoordinates.So,theTime-DomainandFrequency-Domaindigitalcoordinatesoverlap.Computerletiteasytofilterorextractacertainfrequencyinthisprocess.Thesimulationshowsthatthemethodofsignalprocessingprovidesasimpleandpracticalrealizationofspecificprograms,whichprovidesanewwayofthinkingtothecurrentsignalprocessing.Keywords:Time-Domain;FFT;Frequency-Domain;Coordinateoverlapping;SignalProcessing1引言人类对自然界的认识和改造过程都离不开对自然界中的信息的获取.所谓信息,是指存在于客观世界的一种事物形象,是关于事物运动规律的知识[1].一般泛指消息、情报、指令、数据、信号等有关周围环境的知识.可以说,我们是生活在信息的海洋之中,因此获取信息的活动是人类最基本的活动之一.在我们的周围存在着为数众多的信号.这些众多的信号中,有的是含有有用信息的信号,有的只是应当除掉的噪音.所谓信号处理,就是要把记录在某种媒体上的信号进行处理,以便抽取出有用信息的过程,它是对信号进行提取、变换、分析、综合等处理过程的统称[2].我们可以用信号的频谱来描述信号.要说明的是,我们通常视信号频谱为信号的一种间接描述,而将其数学描述和波形描述视为是对信号的直接描述.因为频谱与信号有一一对应关系,所以从频谱就可以知道对应信号的特点,而信号特点正是我们在描述信号时所需要表现出来的.因此,说频谱是对信号的描述也是成立的[3].人类对信号处理有着悠久的历史.傅立叶变换是信号处2小型微型计算机系统2007年理中最重要、应用最广泛的变换.目前出现了很多实现快速傅立叶变换的串行算法,如基2时间抽取算法和频率抽取算法、混合基FFT算法、分裂基FFT算法(SRFFT)[4，5]、素因子算法（PFA）[6]、Winograd傅立叶变换算法（WFTA）、实序列的FFT、多维FT变换[7]等.在国外,围绕快速傅立叶变换的并行计算进行了多项研究和开发.美国NewMexico大学asiliosGeorgitsis等人设计了2-DFFT程序可处理512*512个点的图象、麻省理工学院计算机科学实验室超级计算技术组开发的FFTW可计算一维或多维、实数据和复数据以及任意规模的DFT.FFTW具有很好的自适应性和很快的运行速度,还包含对共享和分布式存储系统的并行变换.在我国,80年代初快速傅立叶变换的并行算法问世.主要包括:基于IMD-MC2、SIMD-BF、SIMD-CC、MIMD-DM四种体系结构上的FFT算法,它们都是基-2FFT算法,但这些算法各有利弊,受体系结构影响较大.最近也有人提出基于共享存储的多机系统并行计算FFT算法和基于星型互联网络的并行快速傅立叶变换[8]等多种傅立叶变换的并行算法.2时、频域特性分析采样定律告诉我们,一个频带有限的信号,可以对它进行时域采样而不丢失任何信息,现在DFT（离散傅里叶变换）变换进一步告诉我们,对于时间有限的信号（有限长序列）,也可以对其进行频域采样,而不丢失任何信息,这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系[9].但是它却有十分重要的意义,我们看到,由于时域上的采样,使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列）,而DFT理论使得不仅在时域,在频域也可采用数字处理技术[10].快速傅里叶变换（FFT）是计算DFT的一种快速有效方法.有限长序列在数字技术中占有很重要的地位.有限长序列的一个重要特点是其频域也可以离散化,即离散傅里叶变换（DFT）.因为信号序列的DFT本身就是信号频谱的采样集,所以DFT可直接用于分析信号的频谱[11].频谱分析在数字信号处理中用途广泛:如通过语言信号的频谱分析实现语音通讯的频带压缩、声纳信号的频谱分析用以区分水面与水下目标.在各种测量仪器中,频谱分析用得更多,这些都需要DFT运算.虽然频谱分析和DFT运算很重要,但在很长一段时间里,由于DFT运算复杂,并没有得到真正的运用,而频谱分析仍大多采用模拟信号滤波的方法解决,直到1965年首次提出DFT运算的一种快速算法以后,情况才发生了根本变化,人们开始认识到DFT运算的一些内在规律,从而很快地发展和完善了一套高速有效的运算方法——快速傅里叶变换（FFT）算法,FFT的出现,使DFT的运算大大简化,运算时间缩短一～二个数量级,使DFT的运算在实际中得到广泛应用[12].时域信号数字化后是一系列离散点数,通过FFT变为频域离散点数,它们之间的关系可从理论和实验得到,图1是计算机仿真对正弦波（频率分别为：30、500、700、950、1000Hz）以采样频率2KHz采样,再通过FFT转换后的频域曲线.从这里可以看到,一旦采样频率（fs）确定,则最大分辨频率(fmax)确定,它们之间的关系是满足采样定律:fs=2*fmax[13].图中fs=2KHz,故最大分辨频率为1KHz.不难发现离散的原始信号（实验N=1024）通过FFT变换后,频域是以原坐标中间点（N/2=512）作为对称轴的一个频域空间曲线.当信号频率增加,可明显看到谱线向中间靠近,直到最大分辨频率1000Hz重合为止.因此,称采样频率的一半为折叠频率(正好是最大分辨频率).它好像一面镜子,信号频率超过折叠频率时,对应的频谱就会被折迭回来,造成频谱混淆[14].奈奎斯特采样定理:要使实际信号采样后能够不失真还原,采样频率必须大于信号最高频率的两倍.如采样率过低,不满足采样定理,fs=2*fmax,使一个周期内的谱对原信号谱产生失真,无法恢复原信号,使得进一步的数字处理失去依据[15].图1：频谱曲线图Fig.1Spectrumcurve现假设满足奈奎斯特采样定理的前提下,频谱坐标（频率的大小）是从两头（i=0和i=N）逐渐向中间（i=N/2）增大,变化范围从0到最大分辨频率,一个频率坐标点对应两个点,且对称.3时、频域数字坐标重叠为了简单化,对原始信号连续采样N=1024点（大于则分段处理）,采样频率为2KHz,时域数字坐标为X(i)i=0,1….1023,i为时间坐标（X(i)包含实部和虚部,这里虚部置0）.通过FFT变换后变为Y(i)i=0,1….1023,i为频率坐标1期梁建武等：基于时、频域数字坐标重叠技术的信号处理研究322*1fsNfi（Y(i)包含实部和虚部）.要让它们重合,要进行信号运算,一般都是在对函数的自变量进行变换,或加上一个常数偏移(时移),或乘上一个常数作比例系数(尺度),或改变变量的符号(反褶)[16].它们的作用效果能够从原信号的波形变化上很直观地看出.这里采用乘上一个常数作比例系数来换算数字坐标.根据上面的特性我们知道,信号频率从0到最大分辨频率的频域分布一半是从Y(0)到Y(N/2),把这一半以折叠频率处折叠就得到另一半,即Y(N/2)到Y(N-1).那现在假设某频率为f,来确定频率坐标点i的值（i=0….1023）.根据上面的分析不难得出:这个比例系数应该为频率f/最大分辨频率fmax,原时域坐标长度缩小一半（N/2）.频率f坐标点位置(前半段）=N/2*频率f/最大分辨频率fmax=N/2*频率f/（采样频率fs/2）.公式:频率f坐标点位置(前半段）:（公式1）由对称性,频率f坐标点位置(后半段）：（公式2）这说明在频域内一个频率点坐标对应两点,且和折叠频率对称,但这和时域大不相同.为了让他们重合,采用公式1和公式2变换就能让其重合,这是本文提出的关键算法.有了时、频域数字坐标重合算法,计算机对原始信号进行处理就变得尤为方便.为了对此公式进行验证,我们使用了一个带通滤波器,频率是40Hz-100Hz.假设有一个原始正弦波信号,其中含有三种频率（39Hz、60Hz、101Hz）,见图2上部分曲线.我们对原始信号连续采样N=1024点（采样频率为2KHz）.时域数字坐标为X(i)i=0,1….1023，i为时间坐标.通过FFT变换后形成变为Y(i)i=0,1….1023，i为频率坐标.带通低频率为40Hz所对应的坐标点计算:i1=22*fsNf=220002102440*=20i2=22*fsNfN=220002102440*1024=1004带通高频率为100Hz所对应的坐标点计算：i3=22*fsNf=2200021024100*=51i4=22*fsNfN=2200021024100*1024=973根据频域特性把低频（40Hz）滤掉:分两段Y(i)=0,（i=0to20和i=1004to1024）.根据频域特性把高频（100Hz）滤掉:Y(i)=0,（i=51to973）.然后再通过FFT反变换,就只得到只有60Hz正弦波信号了.仿真实验如图2所示.图2下部分有三根曲线,其中第一根是原始信号的频谱,显然是以折叠频率（1000Hz,数字坐标为N/2=512）为对称轴的一个分布曲线;第二根为带通滤波结果,只剩下60Hz正弦波信号了;第三跟为滤波