基本函数与导数综合试题1

页基本函数与导数综合试题函数知识在高考解答题中，无一例外地均与导数相结合，进一步可以简单地求取函数曲线上一点的切线，求取函数的单调区间或单调性；更深一层次可以求出函数的最值或极值，利用所给其他不等关系式[或是由单调性得出的不等关系式]求出参量的取值范围，甚至证明不等式。此类函数与导数相结合的题一般第一问较易，第二问与第三问难度均较大，但也并不是无处下手。需要熟练掌握基本函数[二次、反比例、指数、对数、幂函数]的导数形式，整式四则运算的导数形式，导数与单调性的对应关系，甚至有时需要用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题。此类题出题角度没有太大的变化，但因涉及众多的知识故解决问题的方法却可以灵活多样，注定此类题的难度较大，涉及面较广，解答时必须谨慎小心，步步为营。[高考前对此类题提倡：精解勤思]《基本函数、导数》统计表版本省市难度考察形式考点分析分值大纲版全国Ⅰ★★★函数导数结合利用导数结合所给不等式求参量的取值范围，证明不等式12全国Ⅱ★★★★函数导数结合利用导数证明不等式，结合所给不等式求参量的取值范围12湖北★★★★★函数导数结合利用导数，结合条件求参量的关系，求参量的取值范围，证明不等式14江西★★★函数导数结合利用导数研究函数的单调区间，结合所给不等式求参量的取值范围12上海四川★★★★★函数导数结合函数、反函数、方程、不等式、导数及其应用等基础知识，求取参量的取值范围、证明不等式及比较大小14重庆★★★★函数导数结合利用导数求函数图象的切线，并讨论函数的单调区间13新课标版新课标★★★函数导数结合利用导数研究函数的单调区间，结合所给不等式求参量的取值范围12安徽★★★函数导数结合利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式12北京★★★★函数导数结合利用导数求函数图象的切线，并讨论函数的单调区间13福建★★★★★函数导数结合利用函数、导数、定积分等基础知识，求单调区间及封闭图形面积，并进行类比命题的证明14广东海南★★★函数导数结合利用导数研究函数的单调区间，结合所给不等式求参量的取值范围12湖南★★★★函数导数结合利用导数结合条件求参量的关系并证明不等式，由条件求参量的最小值13江苏★★★★★★导数综合应用考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力16辽宁★★★★函数导数结合利用导数研究函数的单调区间，结合所给不等式求参量的取值范围12山东★★★★★导数综合应用（1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出()fx的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出()gx在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数14陕西★★★★导数综合应用利用导数求函数图象的切线，结合所给不等式求最值函数14天津★★★★★导数综合应用利用导数求函数的单调区间与极值，构建对称函数并证明不等14页式，证明原函数的性质浙江★★★★★导数综合应用利用导数求参量的取值范围，结合等差数列知识证明存在问题14注：“新课标”为黑龙江、吉林、宁夏三省一、单调性与参量的取值范围例：（2010辽宁）21（本小题满分12分）已知函数1ln)1()(2axxaxf.（Ⅰ）讨论函数)(xf的单调性；（Ⅱ）设1a.如果对任意),0(,21xx，||4|)()(|2121xxxfxf，求a的取值范围.解：（1）)(xf的的定义域为),0(，xaaxaxxaxf1221)('2当a≥0时，0)('xf，故)(xf在),0(上单调递增当a≤1时，0)('xf，故)(xf在),0(上单调递减当01a时，令0)('xf，解得aax21，则当)21,0(aax时，0)('xf当),21(aax时，0)('xf故)(xf在)21,0(aa上单调递增，在),21(aa上单调递减（2）不妨假设1x≥2x，而1a，由（1）知)(xf在),0(上单调递减，从而),0(,21xx，||4|)()(|2121xxxfxf等价于：),0(,21xx，22114)(4)(xxfxxf①令xxfxg4)()(，则421)('axxaxg则①式等价于函数)(xg在),0(上单调递减，分析确定函数的定义域根据使导数正负分类讨论关键在于将所给条件进行等价变形：由前一问的性质给出关系，去掉绝对值分类时要做到不重不漏正确求出函数的导数形式要注意表达方式构建新函数的单调性可得到不等关系类比函数单调性定义的结构在定义域范围内讨论单调性页即421axxa≤0从而a≤212)12(1224)12(1214222222xxxxxxx故a的取值范围为]2,([相似习题]1．（2010北京）18(本小题共13分)已知函数2()ln(1)(0)2kfxxxxk(Ⅰ)当k=2时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。2．（2010海南）21（本小题满分12分）设函数21)(axxexfx.（Ⅰ)若0a,求)(xf的单调区间;（Ⅱ）若当x≥0时)(xf≥0，求a的取值范围.二、函数与导数的综合应用例：（2010湖南）20.（本小题满分13分）已知函数2()(,),fxxbxcbcR对任意的xR，恒有'()fx()fx.（Ⅰ）证明：当0x时，2()()fxxc；（Ⅱ）若对满足题设条件的任意cb,，不等式22()()()fcfbMcb恒成立，求M的最小值.解：（Ⅰ）易知()2fxxb.由题设，对任意的2,2xRxbxbxc即2(2)0xbxcb恒成立，所以2(2)4()0bcb，从而214bc.于是1c，且2214bcb，因此2()0cbccb.故当0x时，有2()()(2)(1)0xcfxcbxcc.即当0x时，2()()fxxc.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：||bc则当||bc时，有cbbcbcbbcbcbcbfcfM2)()(2222222令cbt，则11t，tcbbc1122，分析将题设条件转化为二次函数恒成立问题，得到参量之间的关系因求解时需两边同时除以22bc，故需分22bc为正、为零、为负进行讨论[由于不能为负，所以没有第三种情况]判断要证明不等式化简后系数的正负利用题设中的条件，代换法构建一个新的函数是解决问题常用的方法，但要注意代二次函数恒为非负的充要条件：△≤0且二次系数为正c的范围及c与b的关系是解决问题的关键此题看似较难分析，但通篇还是符合“要解决问题，需满足条件”的常规解题思路，而且还体现了数学的严密类比与推理能力。所以若想在高考时有所建树，在复习备考时，就要格外加以重视此种分析问题的方法与策略。化简不等关系可得到参量的取值范围小于等于整式的最小值页而函数)11(112)(tttg的值域为)23,(因此，当||bc时，M的取值集合为),23[当cb时，由（Ⅰ）知，2,2bc.此时()()8fcfb或0，且220cb，从而223()()()2fcfbcb恒成立.综上所述，M的最小值为32来[相似习题]1．（2010安徽）17（本小题满分12分）设a为实数，函数22,Rxfxexax．（Ⅰ）求fx的单调区间与极值；（Ⅱ）求证：当a＞ln2-1且x＞0时，21xexax2＞．2．（2010福建）20（本小题满分14分）（Ⅰ）已知函数3()-fxxx，其图象记为曲线C.（i）求函数()fx的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数1x，曲线C与其在点111(,())Pxfx处的切线交于另一点222(,())Pxfx，曲线C与其在点2P处的切线交于另一点333(,())Pxfx，线段1223,PPPP与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为12,,SS则12SS为定值；（Ⅱ）对于一般的三次函数32()(0),gxaxbxcxda请给出类似于（Ⅰ）（ii）的正确命题，并予以证明.3．（2010湖北）21.(本小题满分14分)已知函数)0()(acxbaxxf的图象在点))1(,1(f处的切线方程为1xy.(Ⅰ)用a表示出cb,;(Ⅱ)若xxfln)(在),1[上恒成立，求a的取值范围；(Ⅲ)证明：)1()1(2)1ln(131211nnnnn.4．（2010陕西）21(本小题满分14分)已知函数()fxx，g（x）=lnax，Ra.[来源:学科网ZXXK]（Ⅰ）若曲线y()fx与曲线()ygx相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；[来源:学科网ZXXK]（Ⅱ）设函数()()()hxfxgx,当()hx存在最小值时，求其最小值()a的解析式；因M的值在||bc、cb时均需满足题意，故cb时，M不能取小于32的值页