同济大学(高等数学)_第十一章_曲线积分与曲面积分

1第十一章曲线积分与曲面积分第1节曲线积分以前讨论的定积分研究的是定义在直线段上的函数的定积分.本节将研究定义在平面或空间曲线段上函数的积分.1.1第一型积分的概念与性质在设计曲线形细长构件时，通常需要计算它们的质量,而构件的线密度(单位长度的质量)却是因点而异的.工程技术人员常常用这样的方法计算一个构件的质量：设构件为平面xOy平面内一条有质量的曲线L，L上任一点(,)fxy处的线密度为(,)xy，这样就可以把实际问题定量化(如图11-1)：将曲线L分成n小段曲线(1,2,)iLinis表示曲线段iL长度任取(ii)Li得第i小段质量的近似值(,)iiis图11-1整个曲线构件的质量近似的等于1(,)niiiis当把L分割的越来越细(即max{s1s2sn}0),则整个曲线构件的质量为01lim(,)niiiis.这种和的极限在研究其它问题时也会遇到，因此给出下面概念.定义1设L为xOy面内的一条光滑曲线段函数(,)fxy在L上有界.在L上任意插入一点列P1P2Pn1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为is(,)ii为第i个小段上任意取定的一点作乘积(,)iiifs(i12n)并作和iiinisf),(1如果各小弧段长度的最大值0这和的极限总存在则称此极限为函数(,)fxy在曲线L上的第一型曲线积分或对弧长的曲线积分记作(,)dLfxys即01(,)dlim(,)niiiLifxysfs.（11-1-1）2其中，(,)fxy叫做被积函数,L叫做积分路径,ds弧长微元.特别地，如果L是闭曲线那么函数(,)fxy在闭曲线L上第一型曲线积分记作(,)dLfxys.若L为空间上的光滑曲线段，(,,)fxyz为定义在L上的函数，则可类似的定义(,,)fxyz在空间曲线L上第一型曲线积分，记作(,,)dLfxyzs.这样，本节开始所求的曲线形构件的质量可表示为(,)dLMxys.类似于函数的定积分，并不是所有的(,)fxy在曲线L上都是可积的.然而，当函数(,)fxy在光滑曲线弧L上连续时第一型曲线积分(,)dLfxys都是存在的.因此，下文中我们总假定(,)fxy在L上是连续的.关于第一型曲线积分也和定积分一样具有下述重要性质.性质1(线性性)设、为任意常数则[(,)(,)]d(,)d(,)dLLLfxygxysfxysgxys性质2(路径可加性)若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则12(,)d(,)d(,)dLLLfxysfxysfxys.1.2第一型曲线积分的计算方法定理1设(,)fxy在曲线段L上连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0则曲线积分(,)dLfxys存在且22(,)d[(),()]()()dLfxysfttttt.证明设22[(),()]()()dIfttttt.如图11-1，在L上顺次插入((),())(1,21)iiiPttin，0((),())PA，((),())nPB，其中3011nntttt.设is为弧段Pi-1Pi的长度，则122()()d.iititsttt令1((),())niiiifs，其中((),()ii)为弧段Pi-1Pi上任意一点.那么1221221((),())[(),()]()()d((),())((),())()()d.iiniiiintiitiIfsftttttffttttt设L的弧长为s.((),())ftt为[,]上的连续函数，因此一致连续.所以对任意给定正数，存在，当1iitt时，有|((),())((),())|iifftts.(1,[,]iiittt）,因此122122|||((),())((),())|()()d()()d.iintiitiIffttttttttsss又10(1,2)iittin等价于max{s1s2sn}0.从而220(,)dlim=[(),()]()()dLfxysfttttt.特别地，如果平面光滑曲线L的方程为y(x)(axb)则2(,)d(,())1()dbLafxysfxxxx如果平面光滑曲线L的方程为x(y)(cxd)则42(,)d((),)()1ddLcfxysfyyyy若空间曲线L的方程为x(t)y(t)z(t)(t)则222(,,)d((),(),())()()()dLfxyzsfttttttt.例1计算dLys其中L是抛物线yx2上点O(00)与点B(11)之间的一段弧.解曲线的方程为yx2(0x1)(图11-2)因此12220d1()dLysxxx12014dxxx)155(121.图11-2图11-3例2计算22dxyLes，其中L是从(0,1)A沿圆周221xy到22(,)22B处的一段劣弧(如图11-3).解曲线段L的参数方程为cos,sin,42xtytt.从而22d(sin)(cos)ddstttt.因此22243dd4xyLesete.例3计算曲线积分222()dLxyzs其中L为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到2的一段弧.解在曲线L上有x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2并且22222d(sin)(cos)ddsatatktakt于是222()dLxyzs2222220()daktakt5)43(3222222kaka.例4计算22(2)dLxyzs，其中L为球面2222xyza和平面0xyz的交线.解有对称性得2222221ddd()d3LLLLxsyszsxyzs由于在L上成立2222xyza，且L是一个半径为a的圆周，因此222223()ddd2.LLLxyzsasasa同理1ddd()d0.3LLLLxsyszsxyzs于是222234(2)ddd2d.3LLLLxyzsxsyszsa=1.3第二型曲线积分在物理学中还会碰到另一种类型的曲线积分.例如一质点在xOy面内受变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j的作用下沿光滑曲线弧L从点A移动到点B求变力F(xy)所作的功.这样就可以把实际问题定量化(如图10-4).在曲线L上插入点AP0P1P21nPPnB把有向曲线L分成n个小弧段.设Pk(xkyk)则有向曲线1iiPP在x轴与y轴上的投影分别为1iiixxx与1iiiyyy,所以(,)iiixyL(i012n1，n).显然F(xy)沿有向小弧段1iiPP所作的功可以近似为图11-41(,)(,)(,)iiiiiPPiiiiiiWPxQyFL6其中(,)ii为小弧段1iiPP内任一点.于是变力F(xy)所作的功近似为111(,)(,).nnniiiiiiiiiiWWPxQy当有向曲线L的分割越细，上式右边的和就越接近正确值.因此，0（是各小弧段长度的最大值）时的极限就是变力在L上所作的功的精确值]),(),([lim10iiiniiiiyQxPW.这种类型的和式极限就是下面所要求的第二型曲线积分的定义定义2设函数P(xy),(,)Qxy在有向光滑曲线L上有界.在L内插入一点列012=A,,nPPPPB得到n个有向小弧段1(1,2,)iiPPin，设1iiixxx，1iiiyyy(ii)为Li上任意一点为各小弧段长度的最大值.如果极限011lim[(,)(,)]nniiiiiiiiPxQy总存在则称此极限为函数P(xy),(,)Qxy在有向曲线L上的第二型曲线积分或对坐标轴的曲线积分记作(,)d(,)d(,)d(,)dLABPxyxQxyyPxyxQxyy或.（11-1-2）特别地，如果L是有向闭曲线，则记作(,)d(,)dLPxyxQxyy.（11-1-3）若记F(xy)=((,)Pxy,(,)Qxy)，d(d,d)xyr,则(11-1-2)式可写成向量形式dLFr或dABFr（11-1-4）这样，在变力F(xy)P(xy)iQ(xy)j作用下沿光滑曲线弧L从点A移动到点B所作的功为(,)d(,)dLWPxyxQxyy.第二类曲线积分定义在有向曲线上，它具有的性质如下：性质1(方向性)设L是有向曲线弧L是与L方向相反的有向曲线弧则7LLdyyxQdxyxPdyxQdxyxP),(),(),(),(.性质2(线性性)设、为任意常数F，G为向量函数，d(d,d)xyr，则[]dddLLLFGrFrGr.性质3（路径可加性)如果把L分成L1和L2则12LLLPdxQdyPdxQdyPdxQdy.1.4第二型曲线积分的计算方法定理2设(,)Pxy,(,)Qxy是定义在光滑有向曲线Lx(t)y(t)上的连续函数当参数t单调地由变到时点M(xy)从L的起点A沿L方向运动到终点B则(,)d(,)d((),())()((),())()dLPxyxQxyyPtttQtttt对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分（11-1-2）的计算，可在L上任意选取一点作为起点，沿L所指定的方向前进，最后回到这一点.若空间曲线L的参数方程为x(t)y=(t)z(t),则(,,)d(,,)d(,,)dLPxyzxQxyzyRxyzz)()](),(),([{ttttP[(),(),()]()[(),(),()]()}d.QttttRttttt其中对应于L的起点对应于L的终点.例5计算224(2)d()dLxxyxxyy，其中L为由点(0,0)O到点(1,1)A的直线段.解L的参数方程为,,01xtytt2241222403510(2)d()d(2)d4123|.3515Lxxyxxyyttttttt8例6计算dLxyx其中L为抛物线y2x上从点A(11)到点B(11)的一段弧（图11-5）.解法一以x为参数.L分为AO和OB两部分AO的方程为xyx从1变到0OB的方程为xyx从0变到1.因此ddLAOOBxydxxyxxyx301121004()dd2d5xxxxxxxx.解法二以y为积分变量.L的方程为xy2y从1变到1.因此1221d()dLxyxyyyy14142d5yy.图11-5例7计算3sindxLxyyes，其中22:1Lxy.解L的参数方程为cos,sin,xy