同济大学高等数学第七版1-8_函数的连续性与间断点(new).

1一、函数的连续性二、函数的间断点第八节函数的连续性与间断点21.函数的增量0000()(,)(,),fxUxxUxxxxxx，自变量在点设在内有定义，称为的增量.0()()(.)yfxfxfxx，称相应于的增量为xy0xy00xxx0)(xfyx0xxx0xyy)(xfy一、函数的连续性32.连续的定义0,xxx设),()(0xfxfy,00xxx就是).()(00xfxfy就是xy0)(xfy0xxx0xy0000000()(,)limlim[()()]0,())(xxfxUxyfxxfxfxxfxx设在内有定义，若，称为则定义1：在点连续称的连续点.4000,0,,()().xxfxfx使当时“恒有”语言：2)(xxf如)2(4lim)(lim222fxxfxx点连续。在2)(2xxxfxy0)(xfy0x0000()(,)lim()(),()xxfxUxfxfxfxx设在内有定义，若在定义2：则称点连续.5说明：0()fxxx在点连续⇔下列三条件同时成立：0()(,)fxUx(1在)内有定义；0lim()xxfx(2)存在；00lim()().xxfxfx（3）61sin,0,()0.0,0,xxfxxxx例1试证在处连续证,01sinlim0xxx,0)0(f又由定义2知.0)(处连续在函数xxf),0()(lim0fxfx73.左右连续0000()()(,]()()ffxaxxxfxfx，，若在内有定义且在则称处左连续;00000()()()()().fxxfxxfxfxfx在处连续在处既左连续又右连续，即，定理：0000()[,)()().()fxxfxxbfxfx若在内有定义，且，则称在处右连续82,0,()0.2,0,xxfxxxx例2讨论在处的连续性解)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f)2(lim)(lim00xxfxx2),0(f右连续但不左连续,.0)(处不连续在点故函数xxf93,0()03,0xxfxxxx例3讨论在处的连续性。解：)0(3)3(lim)(lim00fxxfxx)0(3)3(lim)(lim00fxxfxx右连续且左连续,.)(处连续在点故函数0xxf10,cos,0,()0.,0,axxfxxaxx例4当取何值时在处连续解xxfxxcoslim)(lim00,1)(lim)(lim00xaxfxx,a,)0(af),0()0()0(fff要使1()0.afxx故，当且仅当时，在处连续,1a114.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.()(,)()fxabfxxxbbaa若在开区间内连续,且在左端点处右连续,在在闭区间右端[,点处左连续,则称]上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.1200()().fxxxfx则称在点处,并不连续(或间断)不连续点(或为的间断点)称1.间断点（不连续的点）二、函数的间断点0(1)xx；在无定义0()(,)()fxUxfx设.若具有下列三种情在内有定义形之一：00lim()xxxxfx，不(2)在有定义但存在；0000lim()lim()().xxxxxxfxfxfx，，（3）在有定义且存在但132.间断点的分类0()fxx第一类间断点：在间断点的左右极限都存在。可去间断点第一类间断点间断点跳跃间断点第二类间断点如无穷和震荡间断点0().fxx第二类间断点:在处的左、右极限至少有一个不存在14(1)跳跃间断点0000()()()().fxxfxfxxfx若在点处左，右极限都存在，但，则称为函数的跳跃间断点,0,6()0.1,0,xxfxxxx例讨论在处的连续性解:,0)0(f,1)0(f),0()0(ff.0为跳跃间断点xoxy15(2)可去间断点00()().fxxxfx若在间断点处的左右极限存在相等，则称为的可去间断点01,2,7()11,1,1,1.xxfxxxxx例讨论在处的连续性oxy112xy1xy2解,1)1(f,2)1(f,2)1(f2)(lim1xfx),1(f0.x故，为可去间断点注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.16第二类间断点00()()fxxxfx若在点处的左、右极限至少有一个不存在，则称点为的第二类间断点.1,0()0.,0xfxxxxx例8讨论，在处的连续性解oxy,0)0(f,)0(f0()xfx为的第二类间断点.这种情况称为.无穷间断点171()sin0.fxxx例9讨论在处的连续性解xy1sin()0fxx在处没有定义,01limsin.xx且不存在0.x为第二类间断点这种情况称为的.振荡间断点可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x181932,0sin10()1ln(1)sin,01.xxxxfxxxx例求的间断点，并指出类型,3,2,1x,0时当x,012x由1x,,3,2,1,1)(处间断在xxf.0处可能间断在分段点x解：,0时当x0sinx由2001,x在处不存在，由于)(lim1xfx.)(10的第二类间断点是所以，xfx）存在，矛盾存在，故，由于存在，存在，即，假设.11sinlim)1ln(lim11sin)1ln(lim)(lim(211211xxxxxfxxxx01,x在处xxxxfxxsinlim)(lim311ttttttxsin)2)(1(lim012的第一类可去间断点；是)(10xfx2102,3,,x在处xxxxfxxxxsinlim)(lim30002,3,(),xfx是的无穷间断点，即第二类间断点；00,x在处xxxxfxxsinlim)(lim300xxxx30lim1]11sin)1[ln(lim)(lim200xxxfxx1sin的第一类跳跃间断点。是)(00xfx三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)22可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyx0xoyx0xoyx0x23