同济版高数下习题册答案

学霸联盟整理同济第六版高数下习题册答案第八章多元函数的微分法及其应用§1多元函数概念一、设]),,([:,),(,),(22222yyxfyxyxyxyxf求.二、求下列函数的定义域：1、2221)1(),(yxyxyxf};1|),{(22xyyx2、xyzarcsin};0,|),{(xxyyx三、求下列极限：1、222)0,0(),(sinlimyxyxyx（0）2、xyxxy3)2,(),()1(lim(6e)四、证明极限242)0,0(),(limyxyxyx不存在.证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2xy趋于（0，0）时，极限为21,二者不相等，所以极限不存在五、证明函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在整个xoy面上连续。证明：当)0,0(),(yx时，为初等函数，连续),(yxf。当)0,0(),(yx时，)0,0(01sinlim22)0,0(),(fyxxyyx，所以函数在（0，0）也连续。所以函数在整个xoy面上连续。六、设)(2yxfyxz且当y=0时2xz，求f(x)及z的表达式.解：f(x)=xx2，zyxyyx2222§2偏导数42244222222)()),,((yyxxyyxyyxf答案：学霸联盟整理1、设z=xyxexy,验证zxyyzyxzx证明：xyxyxyex,exyeyyzxz，zxyxexyxyxyyzyxzx2、求空间曲线21:22yyxz在点（1,21,23）处切线与y轴正向夹角(4)3、设yxyxyyxfarcsin)1(),(2,求)1,(xfx(1)4、设yzxu,求xu，yu，zu解：1yzxyzxu，xxyzyuyzln2xxyzuyzln15、设222zyxu，证明:uzuyuxu22222226、判断下面的函数在(0,0)处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由0,00,1sin),(222222yxyxyxxyxf)0,0(0),(lim00fyxfyx连续；201sinlim)0,0(xfxx不存在，0000lim)0,0(0yfyy7、设函数f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求xbxafbxafx),(),(lim0（2fx(a,b)）§3全微分1、单选题（1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的__________(A)必要条件而非充分条件（B）充分条件而非必要条件（C）充分必要条件（D）既非充分又非必要条件（2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___(A)偏导数不连续，则全微分必不存在（B）偏导数连续，则全微分必存在（C）全微分存在，则偏导数必连续（D）全微分存在，而偏导数不一定存在2、求下列函数的全微分：学霸联盟整理1）xyez)1(2dyxdxxyedzxy2）)sin(2xyz解：)2()cos(22xydydxyxydz3）zyxu解：xdzxzyxdyxzdxxzyduzyzyzylnln1213、设)2cos(yxyz，求)4,0(dz解：dyyxyyxdxyxydz))2sin(2)2(cos()2sin()4,0(|dz=dydx244、设22),,(yxzzyxf求：)1,2,1(df)542(251dzdydx5、讨论函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在（0，0）点处的连续性、偏导数、可微性解：)0,0(01sin)(lim2222)0,0(),(fyxyxyx所以),(yxf在（0，0）点处连续。0)0,0(),0(lim)0,0(,0)0,0()0,(lim)0,0()0,0(),()0,0(),(yfyffxfxffyxyyxx0)()(0),(22yxyxf，所以可微。§4多元复合函数的求导法则1、设tvevtuuz,sin,，求dtdz解：dtdz=1cos.(sin)lnsin(sin)ttetetttette2、设,)(32yxyxz，求yzxz,23123(23)()3()ln(),xyxyzxyxyxyxyy3、设)(2xyfxzn，f可微，证明nzyzyxzx2学霸联盟整理4、设)2,(22xyyxfz，其中f具有二阶连续偏导数，求22xz，yxz2，22yz解：1222zxfyfx,1222zyfxfy,21112221222((2)2)22((2)2)zxfyfxfyfyfxxy=221111222244()4fxyfxyfxyf222111122222484zfxfxyfyfx,222111122222484zfyfxyfxfy5、设)(),(yxgxyxyfz，其中f具有二阶连续偏导数、g具有二阶连续导数，求yxz2解：1221zyfyfgxxy，2111122122222231111()()zyxfyfxfffxfggxyxxxxyy6、设),,(zyxFu，),(yxfz，)(xy，求dxdu解：dxdu))(()(321xffFxFFyx。7、设),(vuzz，且变换ayxvyxu2可把方程226xzyxz222yz=0化为02vuz，其中z具有二阶连续偏导数，求常数a的值)3(a证明：vzuzxzvzauzyz22222222vuvuzuzxz2222222244vuavuzauzyz222222)2(2vuavuzauzyxz得：0)6()510(2222vuaavuzaa=38、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,af)1,1(/1,bf)1,1(/2又，)],(,[,)(xxfxfxfx求).1(和)1(/(1),(a+ab+ab2+b3)§5隐函数的求导公式1、设yxyyln，求dxdy解：令(,)lnFxyyyxy，11,ln,lnxydyFFydxy学霸联盟整理2、设),(yxzz由方程)(222yzyfzyx确定，其中f可微，证明xzyzxyxzzyx22)(2223、设),(yxzz由方程zyezx所确定，其中f可微，求yxz2,1,)1(zzyzzxzxzyxz23)1(zxz4、设222221yxzzyx，求dxdy，dxdz(dyxdxy，0dzdx)5、设),(yxzz由方程0),,(xzzyxyF所确定，F可微，求yzxz,解：令(,,)Fxyz(,,)Fxyyzxz，则13122323,yxzzFFFyzFFxFzzxFyFFxFFxF6、设),(yxfz由方程0yxzeyxz所确定，求dz(dydxdz)7、设z=z(x,y)由方程yzyzxxy3)cos(3所确定，求xz,yz,)sin(3)cos(3ln.32yzxyzyzyxzxy,)sin(31)sin(3ln3.2yzxyzyzxzxyzxy§6微分法在几何中的应用1、求螺旋线tztytx3,sin2,cos2在对应于4t处的切线及法平面方程解：切线方程为3224322zxy法平面方程0)43(3)2(2)2(2zyx2、求曲线22222250yxzzyx在（3，4，5）处的切线及法平面方程解：切线方程为053443zyx，法平面方程：034yx3、求曲面932222zyx在（1，-1，2）处的切平面及法线方程解：切平面方程为0)2(2)1(3)1(2zyx及法线方程223121zyx4、设),(vuf可微，证明由方程0),(bzaybzaxf所确定的曲面在任一点处的切平面与一定向量平行学霸联盟整理证明：令),(),,(bzaybzaxfzyxF，则),,(,,,21212121bfbfafafnbfbfFafFafFzyx0),,(abbn，所以在（000,,zyx）处的切平面与定向量（abb,,）平行。5、证明曲面32323232azyx0(a）上任意一点处的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为2a证明：令),,(zyxF32323232azyx，则,32,32,32313131zFyFxFzyx在任一点000,,zyx处的切平面方程为0)()()(031003100310zzzyyyxxx在在三个坐标轴上的截距分别为,,,323103231032310azayax在三个坐标轴上的截距的平方和为2a证明曲面)(xyxfz上任意一点)0(),,,(0000xzyxM处的切平面都通过原点7、设F(x,y,z)具有连续偏导数，且对任意实数t,总有),,(),,(zyxFttztytxFkk为自然数，试证：曲面F(x,y,z)=0上任意一点的切平面都相交于一定点证明：),,(),,(zyxFttztytxFk两边对t求导，并令t=1),,(zyxkFzFyFxFzyx设是曲面上任意一点，则过这点的切平面为：))(,,(0000xxzyxFx+))(,,(0000yyzyxFy+))(,,(0000zzzyxFz=0此平面过原点（0，0，0）§7方向导数与梯度1、设函数22),(yxyxyxf，1）求该函数在点（1，3）处的梯度。2）在点（1，3）处沿着方向l的方向导数，并求方向导数达到最大和最小的方向解：梯度为,5)3,1(jigradfsin5cos)3,1(lf,方向导数达到最大值的方向为)5,1(s，方向导数达到最小值的方向为)5,1(s。2、求函数222zxyzxyu在（1，2，-1）处沿方向角为0001509060的方向导数，并求在该点处方向导数达到最大值的方向及最大方向导数的值。解：：方向导数为2331)1,2,1(lu，该点处方向导数达到最大值的方向即为梯度的方向kjigradu352)1,2,1(，此时最大值为38)1,2,1(lu3、求函数32zxyu在（1，1，-1）处沿曲线32,,tztytx在（1，1，1）处的切线正方向（对应于t增大的方向）的方向导数。学霸联盟整理解：：223323,2,zxyzuxyzyuzyxu，)3,2,1(s，该函数在点（1，1，-1）处的方向导数为144)1,1,1(lu，4、求函数)ln(222xzyu在（1，1，-1）处的梯度。解：：2222222222,2,2zyxzzuzyxyyuzyxxxu，kj