向量代数与空间解析几何辅导

高等数学学习辅导向量代数与空间解析几何1向量代数与空间解析几何一、主要内容1．空间直角坐标系，点的坐标，两点间距离公式.2．向量的基本概念，向量间运算的定义及性质.3．向量的坐标，向量及其运算的坐标表示4．曲面方程的概念，柱面与旋转面.5．平面的方程，两平面间的位置关系，点到平面的距离.6．空间曲线的方程，曲线在坐标平面上的投影.7．直线的方程，直线与直线，直线与平面的位置关系.8．常见二次曲面的图形及其性质.二、学习要求1．掌握空间直角坐标系，理解空间中点的坐标概念，掌握空间两点间距离公式.2．掌握向量的基本概念（表示、记号、模、单位向量、夹角等）；理解向量运算的定义，掌握运算法则；了解运算性质.3．深刻理解向量的投影、向量的坐标概念；掌握向量、向量的模、向量的方向角及方向余弦，、单位向量的坐标表示式；熟练掌握向量的坐标公式；向量夹角的计算公式及两向量平行、垂直的条件.4．理解曲面和曲面的方程概念；了解建立曲面方程的一般方法；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面、母线平行于坐标轴的柱面的方程；掌握常见的二次曲面的方程及其图形.5．了解空间曲线的参数方程和一般方程；掌握空间曲线在坐标平面上的投影曲线的概念及其方程.6．熟练掌握并会建立各种形式的平面方程和直线方程；掌握平面与平面、直线与直线、平面与直线之间的平行、垂直、相交的条件和夹角公式；会求点到平面，点到直线的距离；了解平面束及其应用.7．掌握常见的空间曲面（平面），空间曲线（直线），空间立体图形，以及这些图形在坐标平面内投影的画法.三、疑难解答1．向量之间能比较大小吗？答不能，因为向量是既有大小，又有方向的量，而方向并无大小的概念.向量概念中的“既有大小”是指向量的模的大小.2．在向量的数量积，向量积中，消去律成立吗？答不成立.数的乘法运算中消去律是指：若acaba0，则cb，而向量的数量及向量积中若cabaa,0或caba不一定有cb.例如：取}1,1,0{},0,1,1{},1,0,1{cba则有1caba，但cb取}1,1,0{},0,1,1{},1,0,1{cba则有}1,1,1{caba，但cb.3．向量积的运算应注意什么？答（1）应特别注意向量及不满足交换律而满足反交换律，而abba，但abba（2）求向量积的坐标时，要特别注意每个坐标的符号。即设},,{},,,{zyxzyxbbbbaaaa则},,{yxyxzxzxzyzyyxyxzxzxzyzyzyxzyxbbaabbaabbaakbbaajbbaaibbaabbbaaakjiba其中第二个坐标的符号不要搞错.4．怎样理解“柱面的方程是zyx,,的二元方程，且与其准线方程相同.”答说柱面的方程是zyx,,的二元方程是指母线平行于坐标轴的柱面.这种柱面一定以其母线所垂直的坐标平面内的一条曲线为准线（即柱面与坐标平面的交线）.准线在平面解析几何中的方程是二元方程，形式上同于柱面高等数学学习辅导向量代数与空间解析几何2方程.但一般而言，柱面的母线不一定平行于坐标轴.例如，平面01zyx就是一个柱面，其方程就不是二元方程.空间解析几何中，坐标面内的曲线方程是方程组，而不是二元方程.例如，xOy平面内的圆心在原点、半径为a的圆周的方程是0222zayx，而222ayx在空间表示母线平行于z轴的圆柱面.5.方程组0),,(0),,(zyxGzyxF一定表示空间曲线吗？答不一定.只有当0),,(,0),,(zyxGzyxF都表示曲面，且这两曲面相交时，才表示空间曲线.例如，方程组1022222yxzzyx，其中0222zyx仅表示点)0,0,0(，而122yxz是不过原点的旋转抛物面，所以这个方程组不表示任何几何图形.6.如何将空间曲线的一般式方程转为化为参数式方程？答选定参数.将满足方程组的zyx,,用参数表示.参数可选为zyx,,中的一个.例如（1）2:22zzyxp，这里平面2z内的圆：222zzyx，取圆心角t为参数有：)20(2sin2cos2tztytx.（2）xyyxzp229:取x为参数，则229xzzy，)2323(29:2xxzxyxxp或)0(cos3sin23sin23ttztytx.7．如何证明方程)(0)()(22221111DzCyBxADzCyBxA包含所有过直线0022221111DzCyBxADzCyBxA的平面.答：首先方程)(是zyx,,的一次方程，从而只要不同时为0，它就表示平面其次，直线上任何一个点的坐标都满足)(从而平面过直线.最后，0DCzByAx是过p的任何一个平面，),,(0000zyxP是平面上的点，但不在直线p上，令2020202010101010)(DzCyBxADzCyBxA，则00不同时为0，代入方程)(得)(0)()(2222011110DzCyBxADzCyBxA这表示一个过p的平面.又将),,(0000zyxP坐标代入方程)(有：0)()(00002020202010101010DzCyBxADzCyBxA而方程)(表示过p及点0p的平面，也即过p的任何一个平面，都可用方程)(表示，这就证明了结论.8．如何绘制空间图形答（1）掌握常见曲面及平面图形画法.比如母线平行于坐标轴的柱面，旋转轴为坐标轴的旋转曲面的画法.比较有规律，应重点掌握.对平面0:DCzByAx，当DCBA,,,均不为0时，化为截距式，易作图；当0D而CBA,,均不为0时，平面过原点，易找出平面上另外两点，作一个顶点在原点的三角形，就表示平面.当CBA,,中有一个或两个为0时，平面从平行于某坐标轴可转化为母线平行于坐标轴的柱面作图.（2）通过确定平面与平面交线上两点，作出直线；通过分析想象曲面与曲面，曲面与平面的交线形状，确定出曲线上几个关键点而描绘出空间曲线图形.高等数学学习辅导向量代数与空间解析几何3（3）曲面或平面所围的空间立体须分析、想象立体形状，画出有关曲面及曲面之间的交线，最后综合作出图形.（4）空间曲面片或立体在某坐标平面内的投影区域的画法：首先要找出立体或曲面片上最大范围的轮廓线，然后求轮廓线在坐标平面内的投影曲线，投影曲线，所围区域即所求.