哈工大信号检测与处理第2章确知和随机参量信号检测.

2.4.4.2M元信号检测实际工程应用中，经常遇到M（M2）元信号的检测问题。假设在（0，T）时间间隔内，接收到的信号波形()xt中包含有M个信号(),(1,2,)istiM中的一个和均值为0、功率谱为0/2N的加性高斯白噪声。设M个信号具有相同的能量，且信号彼此正交，即0()()0,,TijEijststdtij因为要在M个确知信号中做出选择，故需要M个假设。即1122:()()(),0:()()(),0:()()(),0MMHxtstnttTHxtstnttTHxtstnttT由于假定各类假设的先验概率相等，且各种错误判决的代价相等，贝叶斯准则转化为最大似然准则。即若()iPXH最大，则判定iH假设为真。推广到M元的情况，显然有：2001()exp[[()()]]TiiPXHFxtstdtN其中F为常数。显然似然函数随着指数中积分项的减小而增大。因此等效的判决规则为若20[()()]Tixtstdt最小，则选择相应的iH假设为真。即2220000[()()]()()2()()TTTTiiixtstdtxtdtstdtxtstdt由于上式中第一项和第二项的积分同选择哪个假设为真无关，所以判决规则为：0()()TiiGxtstdt若iG为最大，则选择相应的iH假设为真。对应的接收机如图所示X(t)积分积分积分选择最大值SM(t)S1(t)S2(t)判决M元信号的相关接收机总之，与二元检测问题类似总可以把似然比计算转化为相关接收机的结构形式2.5随机参量信号的检测必要性：上节假定信号在接收机处是已知的。但实际上，除了噪声干扰引起观测信号的不确定性外，还有由于信号参量的随机性所引起的附加不确定性。所以即使能够滤掉相加性噪声，信号参量的随机性引起的不确定性也是依然存在。因此在多数情况下信号在接收端，其参量发生变化，把含有随机或未知参量的信号称为随机参量信号。在此之前考虑的假设是简单假设，即认为信号是确知的，或是存在，或是不存在。若信号存在，则信号的有关参量如初相角，幅度，频率等都是已知的确定值。观测信号的随机性只是由于干扰的随机性引起的。然而，在许多情况下信号并不确知，初相角，幅度，频率等参量一般来说也都是不确定的即具有随机参量。这样混合信号的概率密度函数中含有未知参量。这种在概率密度函数中含有未知参量的假设称为复合假设2.5.1复合假设检验—解决依赖于一组参数的信号的存在问题这里仅讨论两个假设情况，但所用方法可推广到多个假设的情况。令12(,,...)n表示与假设0H有关的随机参量矢量，这里可令1－相位，2－幅度，3－频率，……….。令12(,,...)n表示与假设1H有关的随机参量矢量，这里可令123,,...表示信号的初相角，幅度，频率，….令01(),()pp分别表示与，有关的联合先验概率。当应用贝叶斯准则进行判决时，代价函数也可以是，的函数。但0010,cc（与0H相关的）可以只是的函数而与（信号的参量）无关，0010(),()iicc。1011,cc（与1H相关的）可以只是的函数而与无关。1011(),()iicc因为信号参量的不确定性，观测值y的概率不仅与假设有关，而且还依赖于未知参量的取值，因此，这些条件概率表示为：1(|)py和0(|)py。把表示观测信号的多维空间划分为0R，1R两部分。与简单假设时一样，观测信号落在区域0R，就选择假设0H，记作0D；观测信号落在区域1R，就选择假设1H，记作1D。考虑到信号参量是随机的，每个随机参量都有自己的概率分布密度，于是平均代价（平均风险）可写为：00001010()()01011111()()()(,,)()(,,)()(,,)()(,,)iiiiiiiiiiiiccpDHcpDHcpDHcpDH00010110111101110001000()()()()()(){()(|)()[()()]()(|)()[()()]}RcpHpcdpHpcdpHpypccdpHpypccddy（2－75）式中，影响c大小的是区间0R的选定，应用贝叶斯准则就是要定出使平均代价最小的0R的范围。假定：1000()()0cc0111()()0cc（2－76）则由于前两项与0R无关，因此当0R选成使式（2－75）对y的积分项的被积函数为负值的区域时，c即为最小值。这样0H成立。判决域0R可这样来确定，所有满足11101110001000()(|)()[()()]()(|)()[()()]0pHpypccdpHpypccd（2－77）的y值划分给0R，判决0H成立。把不满足的y值划归1R域，判决1H成立。于是上式可改写为：1011011101001000(|)()[()()]()()()(|)()[()()]HHpypccdpHlypHpypccd（2－78）若代价函数ijc与变量，无关，则1011010001011100(|)()()()()()()(|)()HHpypdpHcclypHccpypd（2－79）注意到11111(|)()(,),(,)()pyppypydpy（2－80）类似的情况也适用于0H假设101110100001011100(|)()()()()()()()()(|)()HHpypdpypHcclypypHccpypd（2－81）复合假设检验在形式上就变为简单假设检验，但需要说明，所谓变为简单假设检验，只是门限的计算与简单假设检验相同，而似然函数的计算多了一次积分，变为平均似然比，这正是因为随机参量的随机性需要统计平均来表征。在许多情况下，0H假设是简单的，1H假设是复合的（如雷达的信号问题，其中0H假设表示无信号，当然也就无参量可说，只能是简单的）若0111,cc与变量无关，则判决式为：1011010000010111(|)()()()()()()()HHpypdpHcclylpypHcc（2－82）与简单假设检验比，门限的计算与简单假设检验相同，对随机参量信号的似然函数的计算多了一次积分，变为平均似然函数。举例：在二元复合假设检验下，观测信号分别为：21:~(,)nHyNm20:~(0,)nHyN式中m是未知量，其概率密度函数已知。这样假设0H是简单的，假设1H是复合的。试建立复合假设检验。解：由于观测信号满足高斯分布，所以其似然函数为：21/200221(|)()()exp[]22yPyHpy21/211221()(|,)(|)()exp[]22ymPymHpy假定未知参量m的概率密度函数()pm为21/21221()()()exp[],22mmmpPmm则似然比为101100(|)()()()HHpypdlylpy221/21/2222221/22221/222222221/22222221/2221()1()exp[]()exp[]2222()1()exp[]221[]exp[]2()2()()exp[]12()()exp[]22mmmmmmmymmdmlyyyyy取对数的判决规则为10222220222()1[lnln(1)]2HmmmHyl上式就可以完成对假设1H成立，还是假设0H成立的判决了。2.5.2随机相位信号的检测典型的随机相位信号如雷达接收信号，其初始相位是由目标的距离和运动状态等因素决定，无法预先知道。一般假定相位为随机变量，且在(0,2)区间上均匀分布。这种分布意味着完全缺乏相位方面的知识，是一种最不利的分布。这类检验属于复合检验。下面仍研究双选一检测问题。设观测信号为：100:()()()0:()()0HytastnttTHytnttT（2－83）这里，0a是信号的复幅度，()st是信号的归一化复包络，()nt是平稳高斯白噪声的复包络。*0[()]0()[()()]2()EntREntntNt（2－84）令：2201()1,2stdtaE（2－85）同时规定信号的初相位00arga是随机的，且与代价函数无关，其先验概率为：0101,02()20,p其它（2－86）而信号的其它参量，如幅度0||a，频率0f到达时间t是确知的。根据公式（2－82）即可得接收机的判决公式为：10210100000HHPyPdlylPy（2－87）10210000012HHPydlylPy（2－88）利用关系式：/2200010011()(/)()exp[()]22NNkkkpypyHyuNBNB(2-70)/2211110011()(/)()exp[()]22NNkkkpypyHyuNBNB(2-71)所以（2-88）式变为（加入绝对值是为了包络检测）：20001exp2TPyFytdtN（2－89）2100001exp2TPyFytastdtN（2－90）式中F是常数。2201()[()()]0,1NTkikikyuBytutdti和关系式：故平均似然比22000002002*000000011exp221exp211expexpcos2TTTytastdtdNlyytdtNEaytstdtdNN（2－91）式中利用了22001,()2TastdtE信号能量000argTaytstdt利用零阶修正贝塞尔函数200001expcos2xdIx（2－92）式（2－91）变为：00*000000011EETNNlyeIaytstdteIazyNN（2－93）由于0I与zy有相同的单调性，因此（2－88）的判决关系即平均似然比关系可以近似成1000HTHzyytstdtl（2－94）显然在随机相位信号检测中，接收机的结构类似于确知信号。相关接收结构：ytst0Tdt包络检波判断电路T时刻取样判决结果0l门限0l0l0l0l0l1H0H匹配滤波器结构：关于匹配滤波器输出响应的讨论，若选T0t=t式（2－88）右边的相关运算也可以由匹配滤波器完成ytsTt匹配包络检波判决电路0l0l1H0HT时刻取样0l门限2.5.3随机相位和振幅信号的检测随机相位和振幅信号的检测与随机相位信号的检测问题的分析方法类似。设观测信号模型为：0()()0()()0astnttTytnttT假设：100:()()()0:()()0HytastnttTHytnttT()nt仍是平稳高斯白噪声，不同的是不仅0a的相位00arga是随机的，而且幅度0||a也是随机的，并且假定振幅0a和相位0是统计独立的。0a和0的先验概率密度分布是已知的。0在(0,2)区间上均匀分布。01101,02()20,p其它11()ip的下脚11分别表示1H和第一参量0振幅0a假定具有瑞利分布：220021200002200()exp[],0,2[]2a