高中数学必修三第三章03古典概型

高中数学人教A版必修三第3章概率四川省成都市新都一中肖宏No.1middleschool，mylove！•一位魔术师要表演纸牌魔术，他要邀请一位观众从他准备的一副有54张牌的扑克中任意抽取一张牌，如果你是被邀请的观众，那么你抽到大王的概率是多少?抽到一张红心牌的概率是多少?No.1middleschool，mylove！第3课时古典概型•预学1:基本事件的特点•(1)任何两个基本事件是互斥的.•(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.•议一议:袋中有大小、形状相同的红、黑球各一个，现从袋中依次有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球的基本事件有哪些?No.1middleschool，mylove！•【解析】(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)、(黑、黑、红)、(黑、红、黑)、(红、黑、黑)、(黑、黑、黑)，共8个基本事件.No.1middleschool，mylove！•预学2:古典概型的特点•(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.•(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.•我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概型.No.1middleschool，mylove！•想一想:预学1中记“摸到两个红球一个黑球”为事件A，求事件A的概率，此问题是古典概型吗?•【答案】是No.1middleschool，mylove！•预学3:古典概型的概率•对于古典概型，若实验的所有可能结果(基本事件)的个数为n，则每个基本事件的概率都是𝟏𝐧.若随机事件A包含的基本事件数为m(m≤n)，则随机事件A的概率为𝐦𝐧.•议一议:你能列出预学1中的事件A“摸到两个红球一个黑球”发生的所有基本事件吗?概率是多少?No.1middleschool，mylove！•【解析】事件A包含的基本事件为(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，事件A包含的基本事件数为3，而基本事件总数为8，所以事件A的概率为P(A)=𝟑𝟖.No.1middleschool，mylove！•预学4:古典概型的计算步骤•(1)求出基本事件的总个数n，基本个数较少时，通常用列举法把所有的基本事件列举出.•(2)求出事件A包含的基本事件个数m(m≤n).•(3)求出事件A的概率P(A)=𝐀包含的基本事件的个数基本事件的总数=𝐦𝐧.No.1middleschool，mylove！•议一议:记“摸到两个红球一个黑球”的对立事件为事件B，记“摸到三个红球”为事件C，记“至少摸到两个红球”为事件D，则事件B、事件C、事件D的概率分别是多少?它们的概率有什么关系?No.1middleschool，mylove！•【解析】事件B的基本事件包括(红、红、红)、(黑、黑、红)、(黑、红、黑)、(红、黑、黑)、(黑、黑、黑)，其概率为P(B)=𝟓𝟖;事件C包含(红、红、红)一个基本事件，P(C)=𝟏𝟖;事件D包含的基本事件有(红、红、红)、(红、红、黑)、(红、黑、红)、(黑、红、红)，所以事件D的概率为P(D)=𝟒𝟖=𝟏𝟐，其中A∪C=D，且满足P(D)=P(A∪C).No.1middleschool，mylove！No.1middleschool，mylove！•1.基本事件例1、如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域.用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数(箭头指向两个区域的边界时重新转动)，且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的.在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后各转动一次游戏转盘，得分记为(a，b)(假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动).•(1)请列出一个家庭得分(a，b)的所有情况;•(2)若游戏规定:一个家庭的总得分为参与游戏的两人所得分数之和，且总得分为偶数的家庭可以获得一份奖品.请问一个家庭获奖的概率为多少?No.1middleschool，mylove！•【方法指导】按照数字由小到大的顺序一一列举出基本事件，并列举出两数和为偶数的基本事件，根据古典概型计算概率.•【解析】(1)由题意可知，一个家庭的得分情况共有9种，分别为(2，2)，(2，3)，(2，5)，(3，2)，(3，3)，(3，5)，(5，2)，(5，3)，(5，5).•(2)记事件A:一个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分情况包括(2，2)，(3，3)，(3，5)，(5，3)，(5，5)，共5种，•所以P(A)=𝟓𝟗，所以一个家庭获奖的概率为𝟓𝟗.No.1middleschool，mylove！•变式训练1、袋子中装有大小和形状相同的小球，其中红球与黑球各1个，白球n个.从袋子中随机取出1个小球，取到白球的概率是𝟏𝟐.•(1)求n的值;•(2)记从袋中随机取出一个小球为白球得2分，为黑球得1分，为红球不得分.现从袋子中取出2个小球，求总得分为2分的概率.No.1middleschool，mylove！•【解析】(1)由题意可知𝐧𝟏+𝟏+𝐧=𝟏𝟐，解得n=2.•(2)设红球为a，黑球为b，白球为c1，c2，从袋中取出2个小球的所有等可能基本事件为(a，b)，(a，c1)，(a，c2)，(b，c1)，(b，c2)，(c1，c2)，共6个.•记事件A为“总得分为2分”，包含的基本事件为(a，c1)，(a，c2)，共2个.•∴P(A)=𝟐𝟔=𝟏𝟑.No.1middleschool，mylove！•2.古典概型•例2、一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4，现从盒子中随机抽取卡片.•(1)若一次从中随机抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于或等于7的概率;•(2)若第一次随机抽取1张卡片，放回后再随机抽取1张卡片，求两次抽取的卡片中至少一次抽到数字2的概率.•【方法指导】(1)不放回地抽取，先按次序列出基本事件，求出概率;(2)有放回地抽取，数字可以重复，按照由小到大的次序一一列出基本事件，求出概率.No.1middleschool，mylove！•【解析】(1)设A表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于或等于7”，任取3张卡片，3张卡片上的数字全部可能的结果是(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共4种，数字之和大于或等于7的是(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)，共3种，所以P(A)=𝟑𝟒.•(2)设B表示事件“至少一次抽到2”，第一次抽1张，放回后再抽取1张的全部可能结果为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16个，•事件B包含的结果有(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，2)，(4，2)，共7个，•所以所求事件的概率为P(B)=𝟕𝟏𝟔.No.1middleschool，mylove！•变式训练2、某篮球技巧大赛，每名选手都要进行运球、传球、投篮三项比赛，每个选手在各项比赛中获得合格与不合格的机会相等，且互不影响.现有A、B、C、D、E、F六位选手参加比赛，电视台根据比赛成绩对前2名进行表彰奖励.•(1)求A至少获得一个合格的概率;•(2)求A与B只有一个受到表彰奖励的概率.No.1middleschool，mylove！•【解析】(1)记A运球，传球，投篮合格分别记为W1，W2，W3，不合格为𝑾𝟏，𝑾𝟐，𝑾𝟑.•则A参赛的所有可能的结果为{W1，W2，W3}，{W1，W2，𝐖𝟑}，{W1，𝐖𝟐，W3}，{W1，𝐖𝟐，𝐖𝟑}，{𝐖𝟏，W2，W3}，{𝐖𝟏，W2，𝐖𝟑}，{𝐖𝟏，𝐖𝟐，W3}，{𝐖𝟏，𝐖𝟐，𝐖𝟑}，共8种，•由上可知至少获得一个合格对应的可能结果有7种，•所以至少获得一个合格的概率为P=𝟕𝟖.No.1middleschool，mylove！•(2)所有受到表彰奖励可能的结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种，•A与B只有一个受到表彰奖励的结果为{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，共8种，•则A与B只有一个受到表彰奖励的概率为P=𝟖𝟏𝟓.No.1middleschool，mylove！•3.分层抽样与古典概型•例3、为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查.已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班.•(1)求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数;•(2)若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率.No.1middleschool，mylove！•【方法指导】先按照分层抽样的方法抽取样本，再把抽取的6个教学班编号，同一学校用的字母相同，按照次序一一列出基本事件，按照古典概型的概率计算.•【解析】(1)由已知可得在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12∶6∶18=2∶1∶3，•所以甲学校抽取教学班数为6×𝟐𝟔=2个，乙学校抽取教学班数为6×𝟏𝟔=1个，丙学校抽取教学班数为6×𝟑𝟔=3个，•所以分别抽取的教学班个数为2，1，3.No.1middleschool，mylove！•(2)由(1)知，从甲、乙、丙三所中学分别抽取2，1，3个教学班，不妨分别记为A1，A2，B1，C1，C2，C3，则从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A1，C3)，(A2，B1)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A2，C3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B1，C3)，(C1，C2)，(C1，C3)，(C2，C3)，共15个.•设“从6个教学班中随机抽取2个教学班，至少有1个来自甲学校”为事件D，则事件D包含的基本事件为(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A1，C3)，(A2，B1)，(A2，C1)，(A2，C2)，(A2，C3)，共9个，所以P(D)=𝟗𝟏𝟓=𝟑𝟓.•所以从抽取的6个教学班中随机抽取2个，且这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率为𝟑𝟓.No.1middleschool，mylove！•变式训练3、某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级.现从一批该零件中随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下:•(1)在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n;•(2)在(1)的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率.等级12345频率0.05m0.150.35nNo.1middleschool，mylove！•【解析】(1)由频率分布表得0.05+m+0.15+0.35+n=1，即m+n=0.45.•由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，得n=𝟐𝟐𝟎=0.1，•所以m=0.45-0.1=0.35.•(2)由(1)得等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3，等级为5的零件有2个，记作y1，y2.•从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为(x1，x2)，(x1，x3)，(x1，y1)，(x1，y2)，(x2，x3)，(x2，y1)，(x2，y2)，(x3，y1)，(x3，y2)，(y1，y2)，共10种.•记事件A为“从零件，x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”.则A包含的基本事件为(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x3)，(y1，y2)，共4种.故所求概率为P(A)=�