2019届北京市高三数学理模拟试卷

丰台区2018年高三年级第二学期综合练习（二）2018.5数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知{|1}Axx，2{|230}Bxxx，则AB(A){|1xx或1}x(B){|13}xx(C){|3}xx(D){|1}xx（2）设a，b为非零向量，则“a与b方向相同”是“∥ab”的(A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件（3）已知双曲线2221(0)9xybb的一条渐近线的倾斜角为π6，则b的值为(A)33(B)3(C)233(D)33（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)25(B)20(C)13(D)6（5）在2()nxx的展开式中，若二项式系数的和为32，则x的系数为(A)40(B)10(C)10(D)40（6）设下列函数的定义域为(0,)，则值域为(0,)的函数是(A)=exyx(B)=elnxyx(C)yxx(D)ln(1)yx（7）已知,xy满足约束条件0,2,20,xyxyxy若目标函数ymxz的最大值是6，则=m(A)5(B)2(C)2(D)5xyy0y0π25π12π6O（8）某游戏开始时，有红色精灵m个，蓝色精灵n个．游戏规则是：任意点击两个精灵，若两精灵同色，则合并成一个红色精灵，若两精灵异色，则合并成一个蓝色精灵，当只剩一个精灵时，游戏结束．那么游戏结束时，剩下的精灵的颜色(A)只与m的奇偶性有关(B)只与n的奇偶性有关(C)与m，n的奇偶性都有关(D)与m，n的奇偶性都无关第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知复数(1i)2z，则z．（10）已知等比数列{}na中，11a，2327aa，则数列{}na的前5项和5=S．（11）在极坐标系中，如果直线cosa与圆2sin相切，那么a．（12）甲乙两地相距500km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度v不能超过120km/h．已知汽车每．小时运输成本为29360250v元，则全程运输成本与速度的函数关系是y，当汽车的行驶速度为km/h时，全程运输成本最小．（13）若函数sin()yx(0，π2)的部分图象如图所示，则=____，____．（14）如图，在矩形ABCD中，4AB，2AD，E为边AB的中点．将△ADE沿DE翻折，得到四棱锥1ADEBC．设线段1AC的中点为M，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM∥平面1ADE；②三棱锥1CADE体积的最大值为423；③存在某个位置，使DE与1AC所成的角为90．其中正确的命题是．（写出所有．．正确命题的序号）三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题共13分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上的一点，且14AB，6BD，π3ADC，CDABA1MEDCBA27cos7C．（Ⅰ）求sinDAC；（Ⅱ）求AD的长和△ABC的面积．（16）（本小题共13分）某汽车生产厂家为了解某型号电动汽车的“实际平均续航里程数”，收集了使用该型号电动汽车1年以上的部分客户的相关数据，得到他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”．从年龄在40岁以下的客户中抽取10位归为A组，从年龄在40岁（含40岁）以上的客户中抽取10位归为B组，将他们的电动汽车的“实际平均续航里程数”整理成下图，其中“+”表示A组的客户，“⊙”表示B组的客户．++++++++++实际续航里程（km）450400350300250年龄（岁）20070605040302010注：“实际平均续航里程数”是指电动汽车的行驶总里程与充电次数的比值．（Ⅰ）记A，B两组客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”的平均值分别为m，n，根据图中数据，试比较m，n的大小（结论不要求证明）；（Ⅱ）从A，B两组客户中随机抽取2位，求其中至少有一位是A组的客户的概率；（III）如果客户的电动汽车的“实际平均续航里程数”不小于350，那么称该客户为“驾驶达人”．从A，B两组客户中，各随机抽取1位，记“驾驶达人”的人数为，求随机变量的分布列及其数学期望E．（17）（本小题共14分）如图所示，在三棱柱111ABCABC中，D是AC中点，1AD平面ABC，平面1BBD与棱11AC交于点E，1=AAAC，=ABBC．EDA1C1B1CAB（Ⅰ）求证：1BBDE∥；（Ⅱ）求证：1AABD；（Ⅲ）若1BC与平面11AABB所成角的正弦值为217，求ACBD的值．（18）（本小题共13分）已知函数()cosfxxxaxa，π[0,]2x，(0)a．（Ⅰ）当1a时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）求证：()fx有且仅有一个零点．（19）（本小题共14分）已知椭圆C：22221(0)xyabab的长轴长为4，离心率为12，过右焦点F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆相交于M，N两点，设点(,0)Pm，记直线PM，PN的斜率分别为1k，2k．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若120kk，求m的值．（20）（本小题共13分）已知数列{}na的前n项和为nS，1=0a，2=am，当2n时，11,,,,1,.nnnnaktSaktnakt其中，k是数列的前n项中1iiaa的数对1(,)iiaa的个数，t是数列的前n项中1iiaa的数对1(,)iiaa的个数(1,2,3,,1)in．（Ⅰ）若5m，求3a，4a，5a的值；（Ⅱ）若na(3)n为常数，求m的取值范围；（Ⅲ）若数列{}na有最大项，写出m的取值范围（结论不要求证明）．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2018年高三年级第二学期统一练习（二）数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案DABCDDCB二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。（9）1i（10）121（11）1（12）18000018yvv(0120)v；100（13）4；π3（14）①②注：第12，13题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分；第14题只写对一个得2分，有一个错误不得分．三、解答题：（15）（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ACD中，因为π()DACADCC，π3ADC，所以πsinsin()3DACC31cossin22CC．…………………2分因为27cos7C，0πC，所以221sin1cos7CC．…………………4分所以327121321sin+=272714DAC．…………………5分（Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得2222cosABBDADBDADADB，…………………7分所以222214626cos3ADAD，所以261600ADAD，即(16)(10)0ADAD．所以10AD或16AD（舍）．所以10AD．…………………8分在△ACD中，由正弦定理得sinsinCDADDACC，即1032121147CD，…………………10分所以15CD．…………………11分所以111053sinsin222ABCSADBDADBADDCADC．即10532ABCS．…………………13分（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）mn．…………………3分（Ⅱ）设“从抽取的20位客户中任意抽取2位，至少有一位是A组的客户”为事件M，则11210101022029()38CCCPMC．…………………6分所以从抽取的20位客户中任意抽取2位至少有一位是A组的客户的概率是2938．（III）依题意的可能取值为0，1，2．则119811101018(0)25CCPCC；1111189211101013(1)50CCCCPCC；11121110101(2)50CCPCC．…………………10分所以随机变量的分布列为：012P18251350150所以随机变量的数学期望18131301225505010E．…………………12分即103E．…………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：在三棱柱111ABCABC中，侧面11AABB为平行四边形，所以11BBAA∥．又因为1BB平面11AACC，1AA平面11AACC，所以1BB∥平面11AACC．…………………2分因为1BB平面1BBD，且平面1BBD平面11AACCDE，所以1BBDE∥．…………………4分（Ⅱ）证明：在△ABC中，因为=ABBC，D是AC的中点，所以BDAC．因为1AD平面ABC，如图建立空间直角坐标系Dxyz．…………………5分设=BDa，=ADb，在△1AAD中1=2AAAD，190ADA，所以1=3ADb，所以(0,0,0)D，(0,,0)Ab，1(0,0,3)Ab，(,0,0)Ba．所以1(0,,3)AAbb，(,0,0)DBa．…………………7分所以100300AADBabb，EDA1C1B1CABzyxBACB1C1A1DE所以1AABD．…………………9分（Ⅲ）解：因为(0,,3)Ebb，所以1(,,3)DBDEDBabb，即1(,,3)Babb．因为(0,,0)Cb，所以1(,0,3)CBab．…………………10分设平面11ABBA的法向量为=(,,)nxyz，因为100nAAnAB，即300bybzaxby，令=za，则3ya，3xb，所以(3,3,)nbaa．…………………12分因为11222221||23|cos,|||||333nCBabnCBnCBbaaab所以22222321=7433ababab，即422441390aabb，所以=ab或23ab，即=2ACBD或4=3ACBD．…………………14分（18）（本小题共13分）（Ⅰ）解：依题意()cossinfxxxxa．…………………2分令()cossingxxxxa，π[0,]2x，则()2sincos0gxxxx．所以()gx在区间π[0,]2上单调递减．因为(0)10ga，所以()0gx，即()0fx，…………………4分所以()fx的单调递减区间是π[0,]2，没有单调递增区间．…………………5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，()gx在区间π[0,]2上单调递减，且(0)1ga，ππ()22ga．当1a时，()fx在π[0,]2上单调递减．因为(0)0fa，ππ()(1)022fa，所以()fx有且仅有一个零点．…………………7分当π02a，即π2a时，()0gx，即()0fx，()fx在π[0,]2上单调递增．因为(0)0fa，ππ()(1)022fa，所以()fx有且仅有一个零点．…………………9分当π12a时，(0)10ga，ππ()022ga，所以存在0π(0,)2x，使得0()0gx．…………………10分x，()fx，()fx的变化情况如下表：x0(0,)x0x0(,)2x()fx+0-()fx↗极大值↘所以()fx在0(0,)x上单调递增，在0π(,)2x上单调递减．…………………11分因为(0)fa，ππ()(1)22fa，且0a，所以2ππ(0)()(1)022ffa，所以()fx有且仅有一个零点．…………………12分综上所述，()fx有且仅有一个零点．………………