北邮概率论课程论文

1概率论与随机过程及其在力学中的应用摘要当机械系统的零件作随时间而变化的运动时，该系统就为振动系统，因此机械零件对动载荷的响应可认为是振动。机械设计中要考虑的响应为应力和变形，，而激励（动载荷）为力和加速度。文章将概率论与随机过程在阻尼器力学性能试验中的应用进行分析。自然现象的模糊随机过程模型通常是建立在实验数据和实际经验的基础之上的。在保证能得到真实结果的条件下，应尽可能使数学模型简单化，这已成为一种建模规律。一个模糊随机过程可按照它的模糊概率结构和系统的特征量模拟为平稳模糊随机过程或非平稳模糊随机过程。平稳的模糊随机过程是一种数学的抽象，通过它可获得一大批简单、合理而又有效的模型。在某些情况下，一个模糊随机过程可以认为是各态历经的，这样它的模糊矩函数可以从单个长的记录计算得到。大量的非平稳的模糊随机过程可以模拟为解析上较容易处理的演变模糊随机过程[1]。关键词:概率论与随机过程阻尼器力学性能试验一、概率论与随机过程简介概率论产生于十七世纪，本来是又保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。早在1654年，有一个赌徒梅累向当时的数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢m局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了a(am)局，另一个人赢了b(bm)局的时候，赌博中止。问：赌本应该如何分法才合理？”后者曾在1642年发明了世界上第一台机械加法计算机。三年后，也就是1657年，荷兰著名的天文、物理兼数学家惠更斯企图自己解决这一问题，结果写成了《论机会游戏的计算》一书，这就是最早的概率论著作。概率论是一门应用非常广泛的学科。随机过程论与其他数学分支如位势论、微分方程、力学及复变函数论等有密切的联系，是在自然科学、工程科学及社会科学各领域研究随机现象的重要工具。概率论与随机过程论目前已得到广泛的应用，在诸如天气预报、统计物理、天体物理、运筹决策、经济数学、安全科学、人口理论、可靠性及计算机科学等很多领域都要经常用到随机过程的理论来建立数学模型。近几十年来，随着科技2的蓬勃发展，概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学，如信息论、对策论、排队论、控制论等，都是以概率论作为基础的。二、模糊随机干扰和响应的模糊随机方程大多数现实的机械系统具有复杂的几何和材料性质，并且在复杂的模糊环境条件下工作。建立一个供动力分析系统的数学模型必须用离散的或连续的元素将惯性、阻尼和刚度性质理想化。通常第一步是建立一个物理模型，它们可能是离散元素如质量、弹簧、阻尼器等的集合，连续元素如绳、杆、梁、板和壳等的集合；或者是离散元素和连续元素的混合体。对系统和它的元素应用力学中的定理、定律等，可以得到一组联系模糊随机干扰和响应的模糊随机方程如下[2]:L(t，a，d，s)[X(t,s)]=F(t,s)其中L(g)是一数学算子，X(t,s)是对应于模糊随机干扰向量F(t,s)的系统响应向量，数学算子包括确定性算子和模糊算子，它可以是代数的、微分的和积分的，或者是它们的混合体；它也可以是线性的或者非线性的；齐次的或者非齐次的，这取决于具体问题的性质。一般地说，最常用的模型是线性的，这是由于它们的分析简单，并且对大量的实际问题可以得到逼真的结果。此外，还有两个事实使得线性模型在模糊随机振动理论中特别有吸引力:1)正态模糊随机过程在线性运算下是闭包的；2)模糊数学期望是一个线性算子，它在适当的条件下可与其他算子交换。上述两个性质合在一起，使绝大多数应用问题的模糊概率表达式特别简单。但是在不少问题中，应用线性算子不能得到满意的结果，这就必须建立非线性模型。数学模型中非线性通常来自材料的性质，特别是阻尼、大变形和同项之间的非线性藕合，它使分析处理变得非常复杂[3]。三、数学模型分析一般情况下，数学模型是由常数、参数、变量、函数关系等四个部分组成的，例如将一弹簧和构成的机械阻尼振动(MKB)系统的运动过程，用数学模型加以描述就是:初始条件或者表示为式中，M——物体的质量；B——阻尼器系数；K——弹簧弹性系数；x——质量M的位移——质量M的加速度；A——质量M的初始位移；3——质量M的速度；F(t)——质量M所受外力；t——时间。通过藕合调谐质量减振器，原模型增加了一个自由度，所研究的共振频率分为两个，分别紧靠在原固有频率的上方和下方，只采用大的调谐质量时，才会产生大的间距。在调谐质量减振器的调谐频率处，原系统静止，而减振器以较大且有限的振幅振动，然而达到调谐频率前必须经过一个共振区[4]。四、应用ER/MR阻尼器的随机最优半主动控制对大型结构的振动控制，需大功率的作动器。此外，在发生地震时，电源通常遭破坏，作动器无法工作。为克服上述困难，近来在研究小功率的新型作动器,ER/MR(电流变磁流变)阻尼器是其中一类。这种阻尼器的阻尼与刚度特性可随外加电场或磁场迅速变化，只需小功率电源即可提供大的控制力，而且结构简单可靠，因而备受重视。ER/MR阻尼器是一种可调阻尼器，需由结构运动引发控制力，一般不能完全执行最优控制律，而需一种半主动控制策略使其发挥作用，其控制效果在很大程度上取决半主动控制策略的优劣。迄今，己为ER/MR阻尼器发展了若干半主动控制策略，效果均不理想。考虑应用s个ER/MR阻尼器控制的n自由度hamilton系统，其运动方程为，Ui(Q,P)=dirUr(Q,P)Ur是第r个ER/TR阻尼器产生的控制力，dir为放置系数，通常ER/MR阻尼器产生的控制力可分成被动和主动两部分，即Ur(Q,P)=Urp(Q,P)+Ura(Q,P)Urp是无电源时阻尼器的被动控制力，Ura则是外加电场或磁场引起的阻尼器的主动控制力，己有多个描述ER/MR阻尼器特性的模型，其中最简单的是Bingham模型，它由一个黏性阻尼器与一个Coulomb摩擦元件并联而成，其控制力:Xr是阻尼器两端的相对速度，cr为黏性阻尼系数，为被动控制力，则是主动控制力。通常ER/MR阻尼器的一端固定，另一端联接于受控系统，此时，就是系统上安装第r个ER/TR阻尼器部位系统的速度。上式的含义就是在物化初始位移(t=0时)A一定的条件下，质量M在某一时刻t所受的外力F(t)，等于质量M与加速度、阻尼系数B与速度、弹性系数K与位移二的乘积之和[5]。在该系统的数学模型中，M、B、K就是常数，A就是参数，x就是变量，等式就是函数关系。1)常数:所谓常数是指在模型中己经确定了的量。如，MKB系统的构成(物体、阻尼器、弹簧)一经确定，那么物体的质量M、阻尼系数B、弹性系数K的数值也就确定4了，所以它们都是常数。2)参数:参数也是常数的一种，但参数的值在每次计算(或试验)后，可以改变其数值重新计算(或试验)，以了解系统在不同条件下的运行结果。因为初始位A具有这种性质，所以它属于参数。3)变量:是指在系统中数值不断变化的量，如位移x、时间t、速度、加速度和外力F(t)在整个系统运行(振动)过程中是不断变化的，所以属于变量。变量又可分为外部变量、内部变量和状态变量三种。4)函数关系:是指各种常数，参数和变量之间所存在着的某种相互联系。如，1式或2式中左、右相等，则表明了质量M、阻尼系数B，弹性系数K、位移二同外力F(t)的关系。模型中的函数关系是根据实际系统固有的性质或原理，按照一定的定理或规则建立起来的。在明确了系统所含常数，参数、变量的基础上，再进一步判明了它们之间的函数关系，系统模型也就建立起来了。模型化的一般原则由于模型是对现实系统(或待开发系统)的一种抽象，而实际系统对象又多种多样，因此模型化的难易程度、模型化的方法和过程都会有很大不同。而且即便是针对同一系统，由于建立模型的目的或研究的角度不一样，其方法以及所建模型也会有很大的差别，因此，很难作统一的规定和要求。这里只是从模型化的根本目的或者说从一切模型的共性出发，提出模型化所应遵循的一般原则。1)建立模型要有明确的目的。目的是建立模型的出发点，也是最后对模型评价的依据。当所建立的模型没有达到目的的要求时，就需要考虑修正、改进或者重新建立模型。2)建立模型应具有足够的精度。所谓精度是指模型本身和根据模型计算的结果与实际系统的符合程度。如前所述，数学模型主要是由常数、参数、变量和函数关系四部分要素所组成，所以模型的精度也主要由列入模型的常数，参数，变量和函数关系所决定。而这四部分要素的选择与确定，又依赖于对实际系统的了解程度以及所用数据或信息的准确性。这就是说，在模型化的过程中，论据要充分，所用公式及其反映的规律应符合实际。3)建立的模型应该简单、易于计算和求解。一般地说，列入模型中的变量越多，越有可能接近于反映系统实际。但相应模型的规模和表述模型要素之间相互联系的函数关系也会越大、越复杂。如果规模与复杂程度达到计算困难或无法求解的程度，也就失去了模型化的意义。因此建立模型应在保证一定精度的基础上尽可能地简单明了，易于计算和求解。这就要求在建模过程中，摒弃事物和过程的具体特征和次要因素，突出主要变量及其逻辑关系，尽可能用最简洁而严密的逻辑语言—公理、定理、定律和公式对系统进行描述。4)尽量利用或接近标准模型。建立模型应在对实际系统充分调查了解的基础上，尽可能利用能够描述该系统的标准化模型，或者尽可能向其靠近，如运筹学提供的各种模型。因为标准化模型是经前人充分研究和提炼的结果，一般都有比较成熟的模型化步骤和求解的方法。所以利用或接近标准模型容易获得成功，而且可以节省建模时间和提高工作效率。参考文献5[1]SHENzhong-wei,ZHOUSheng-fan,SHENWen-xian.One-dimensionalRandomAttractorandRotationNumberoftheStochasticDampedSine一CordonEquation,2010.[2]BATESWP，LUKN，WANGBX.RandomAttractorsforStochasticReactionDiffusionsEquationsonUnboundedDomains.JournalofDifferentialEquations.2009.[3]FANX·RandomAttractorforaDampedSine-GordonEquationwithwhiteNoise.PacificJournalofMathematics.2004.[4]郝红娟，周盛凡·具强阻尼的随机sine-Gordon方程的随机吸引子存在性[J].上海师范大学学报(自然科学版)，2010(02):76一78.[5]郭柏灵，王国联，李栋龙·随机广义Ginzburg-Lan-dau方程的吸引子[J].中国科学(A辑:数学),2007(12):98一100.[6]毛永才,胡奇英.随机过程[M].西安:西安电子科技大学出版社,2002.132-141.[7]星谷胜.随机振动分析.北京：地震出版社，1977：42-45.