命题逻辑习题及其参考答案

11．某地发生一起刑事案件，经过公安人员的努力侦破，作案嫌疑人锁定在Ａ、B、Ｃ三人中，并且摸清了以下情况：①只有０１号案件成功告破，才能确认Ａ、Ｂ、Ｃ三人都是作案人。②目前，０１号案件还是一起悬案。③如果Ａ不是作案人，那么Ａ的供词是真的，但Ａ说自己与Ｂ都不是作案人。④如果Ｂ不是作案人，那么Ｂ的供词也是真的，但Ｂ说自己与Ｃ是好朋友。⑤现已查明Ｃ根本不认识Ｂ。根据上述线索，问：Ａ、Ｂ、Ｃ三人中谁是作案人？解：令p：０１号案件成功告破；q、r、s分别表示A、B、C作案；t：B与Ｃ是好朋友。据题意有：1.{1}┐p→┐（q∧r∧s）P2.{2}┐pP3.{3}┐q→（┐q∧┐r）P4.{4}┐r→tP5.{5}┐tP6.{4.5}rT4.5否定后件7.{1.2}┐（q∧r∧s）T1.2肯定前件8.{1.2}┐q∨┐r∨┐sT7德摩根9.{1.2.3}qT3.6否定后件10.{1.2.3.4.5}q∧rP6.9组合式答：AB作案，至于C尚待侦查。2．综合分析题（要求写出推导过程）：某班有学生61人，下面有三句话：①该班有些学生会使用计算机。②该班有些学生不会使用计算机。③该班班长不会使用计算机。已知上述三句话中，只有一句话是真的，试问：哪一句话是真话？该班有多少学生会使用计算机？解：①②分别为I命题和O命题，二者是下反对关系，必有一真，或许都真；但据题设只有一句真话，可知③为假，真实情况是班长会使用计算机。既然这样第一句话“该班有些学生会使用计算机”就是真的，而第二句话就是假的。O命题假，根据矛盾关系可知，A命题即“该班所有学生都会使用计算机”就真，所以，全班61个学生都会计算机。3．下面有三句话：①如果甲是篮球队员，则乙就是足球队员。②如果乙是足球队员，则甲就是篮球队员。③甲不是篮球队员。已知上述三句话中只有一句话是真话，问：甲是不是篮球队员？乙是不是足球队员？哪一句话是真话？（要求写出推导过程）解：令p表示“甲是篮球队员”，q表示“乙是足球队员”，再令③即“┐p”真，据题设有：①{1}┐（p→q）P②{2}┐（q→p）P③{3}┐pP④{1}p∧┐qT①等值关系⑤{1}pT④合取分解2⑥{1.3}p∧┐pT③⑤合取组合⑦{1}pT归谬③⑥⑧{2}q∧┐pT②等值关系⑨{2}┐pT⑧合取分解⑩{1.2}p∧┐pT⑦⑨合取组合⑾{1}（q→p）归谬②⑩可见：第二句话为真，一三两句为假。甲为篮球队员为真，但并非“甲为篮球队员，乙就是足球队员”，但“如果乙是足球队员，则甲是篮球队员”。4．已知下列三个命题中只有一个命题为假,问:哪一句话是假话？该班51名学生中有多少人是团员？(要求写出推导过程)(1)该班所有的学生是团员。(2)该班所有的学生不是团员。(3)该班班长不是团员。解：(1)(2)为上反对关系，必有一假，据题设，(3)即“该班班长不是团员”就为真，由此可知(1)为假(矛盾关系)；据题设，(1)假，(2)真，实际情况是该班51人都非团员。5．证明：如果同时肯定下列三个命题，则违反了矛盾律要求（1）PES（2）MOP→SIP（3）SIM证明：(4)SEPT(1)换位(5)并非SIPT(4)矛盾对当关系(6)并非MOPT(2)(5)否定后件(7)MAPT(6)矛盾对当关系(8)SIPT(3)(7)直言三段论(9)SIP且并非SIPT(5)(8)合取组合(10)并非((1)∧(2)∧(3))归谬6．已知①非（Ａ→Ｂ）←（Ｃ∧非Ｄ）②Ａ→Ｃ③Ｃ→Ｂ求证：Ａ→Ｄ证明：④A→ＢT②③假言三段论⑤并非(Ｃ∧非Ｄ）T①④否定前件⑥非C∨DT⑤德摩根⑦C→ＤT⑤蕴涵否析⑧Ａ→ＤT②⑦假言三段论7．已知：①A→（B∨C）②非B→A3③非（D→B）④非D←非E求证：E∧C证明：⑤B∨AT②蕴涵否析⑥D∧非BT③蕴涵否定等值关系⑦非BT⑥组合分解⑧DT同上⑨ET④⑧否定前件⑩AT⑤⑦否定肯定⑾B∨CT①⑩肯定前件⑿CT⑦⑾否定肯定⒀E∧CT⑨⑿合取组合12．用选言法证明：小前提为O命题的有效三段论必定是第二格三段论。证明：先构成小前提为O命题的选言支，其大小前提的组合情况有下面几种：1）AO，2）EO，3）IO，4）OO。而其中3）和4）都是两个特称的前提，根据规则6，推不出；2）为两个否定，据规则3也推不出。这样就只有1）AO组合能满足要求。这个组合有两次周延的机会，由于有O命题作为前提，结论是否定的，则大前提在结论中是周延的，因而（据规则2）要求大项在结论中周延；而大项要在A命题中周延，大项必须是全称命题的主项，因而，大前提为PAM。再者，中项必须周延一次（规则1），所以，小前提中的小项就不可能周延了，它一定是O命题的主项，即小前提是SOM。综上该有效三段论就为第二格，如下所示：PAM图aSOMSOP13．用反证法证明：有效的第四格三段论的大小前提都不能是O命题。先作出第四格的图式如下：P——M图bM——SS——P证明：1）令大前提为POM。这样结论就是否定的，因而，结论中P周延，然前提中它并不周延，违背了三段论规则2，所以，大前提不能是O命题；2）再令小前提为MOS，同理，大项（否定命题的谓项）结论中周延，要求大词前提中周延，大项也该在前提中周延，这样大前提就该是PAM或者PEM。而小前提为否定的，则大前提不能为PEM，因为两个否定的命题推不出（规则3），这样大前提就只能是PAM，则大前提中的中项（肯定的谓项）不周延，必须在小前提中周延，这样小前提就因该是全称命题，与假定矛盾。所以小前提不能是O命题。14．证明：若有效的第四格三段论的小项在结论中周延，则该三段论必为AEE。证明：第四格如图b所示，小项在结论中周延，则要求它在前提中周延，那么根据S在前提中谓项的位置，它只可能在小前提为否定命题的时候才能满足；但，这样就只能得出否定的结论，而否定的结论中大项就是周延的，因而，大前提中大项也应周延，大前提中主项上的大项P要得以周延，只可能是全称命题PAM或PEM才有机会；PEM淘汰，因为小前4提是否定的。大前提只可能是PAM了，而M在此并没有周延，因此，要求M在下面的小前提中周延，所以，小前提只能是全称否定命题MES。也只有如此，结论才可以得到SEP的结论。15．已知某有效三段论的小前提是否定命题，求证：该三段论的大前提只能是全称肯定命题。证明：小前提否定的，结论就是否定的，则，大项在结论中周延，因而大项在前提中也要周延；大前提如果是否定的则违反规则3，所以大前提为肯定命题。又因I命题主词谓词均不周延，大前提就只能是A命题，大词处于主项位置，具体形式该为PAM。16．已知：（1）A真包含于B。（2）有C不是B。（3）若C不真包含A，则C真包含于A。请问：A与C具有什么关系？请写出推导过程，并用欧拉图将A、B、C三个概念在外延上可能具有的关系表示出来。推理：（1）所有A是BP（2）有C不是BP（3）若有C不是A，则所有C是AP（4）有C不是AT(1)(2)三段论（5）所有C是AT(3)(4)肯定前件图c17．某排球队有1、3、4、6、9和12号等六名主力队员。他们之间的最佳配合有以下规律：（1）要是4号上场，6号也要上场。（2）只有1号不上场，3号才不上场。（3）要么3号上场，要么6号上场。（4）如果9号和12号同时上场，则4号也要上场。某场比赛需要1和12号同时上场。问：为了保持最佳阵容，这场比赛中，9号该不该上场？（要求写出导过程。）解：1.{1}4→6P2.{2}1→3P3.{3}（3∧┐6）∨（┐3∧6）P4.{4}(9∧12)→4P5.{5}1∧12P6.{5}1T5分解57.{5}12T5分解8.{2.5}3T2.7肯定前件9.{2.3.5}┐6T3.9肯定否定10.{1.2.3.5}┐4T1.9否定后件11.{1.2.3.4.5}┐（9∧12）T4.10否定后件12.{1.2.3.4.5}┐9∨┐12T11德摩根13.{1.2.3.4.5}┐9T7.12否定肯定答：由此可知9没有上18．某商店被盗，员工甲、乙、丙、丁涉嫌被调查。甲：我没有作案，作案的是乙。乙：我和丙都没有作案。丙：除非甲作案，否则乙不会作案。丁：甲和丙中至少有一人作案。已知这四句话中只有一句为真，问到底是谁作案？谁说的是真话？（要求写出推导过程。）解：这是个典型的找矛盾的题，只要找到矛盾的说法肯定其中就有个是对的，而余下的其他人的说法就是错的，这样就能解开谜团。我们用甲乙丙丁分别表示四个嫌疑人作案，他们几个的供词如下：甲：┐甲∧乙乙：┐乙∧┐丙丙：┐甲→┐乙丁：甲∨丙分析：甲：“没有甲乙也会作案”，而甲说：“没有甲乙就不会作案”；显然甲和丙的话是矛盾的，必有一真，据题设只有一句真话，那么乙和丁的话就不可能真，而真实的情况该是“并非（┐乙∧┐丙）”（a），“并非（甲∨丙）”（b）。从（a）可知或乙或丙作案（乙∨丙），从（b）甲和丙都没有作案，即（┐甲∧┐丙）。从（b）知道乙没有作案（┐丙）（c）；甲也没有作案（┐甲）（d）。既然如此，据（a）（c），那就是乙作案了（乙）（e）。据（d）（e）得知“┐甲∧乙”为实情，甲说的是真话，那么丙说的就是假话了。19．A、B、C三人从政法大学毕业后，一个当上了法官，一个当上了检察官，另一个人做了律师。但究竟谁具体做什么工作，人们开始并不清楚，于是作出了如下测:甲：A做了律师，B做了法官。乙：A做了法官，C做了律师。丙：A做检察官，B做了律师。后来证实，甲、乙、丙三人的猜测都只是对了一半。请问：A、B、C三人各担任什么具体司法工作？（要求写出推导过程。）解：设甲的前半句话为真，即“A是律师”，则乙的猜测完全错了，故“A是律师”为假，甲的后半句话为真，即“B是法官”。“B是法官”为真，则丙的后半句话为假，其前半句话为真，即“A是检察官”。“A是检察官”为真，则乙的前半句话为假，其后半句话为真，“C是律师”。20．已知下面三句话中两真一假，试说明甲和乙至少有一人是电工。6（1）如果丙不是木工，那么甲是电工。（2）如果丁不是木工，那么乙是电工。（3）丙和丁都是木工。解：通常做这类题关键在于找相互矛盾的命题，找到这对矛盾的命题就好办了，矛盾的命题是必有一真必有一假的，所以这个假的命题一定在其中；按题意则余下的那个命题就是真的了。你可以来找找！但，今天这个题有些特别，我们得换一个思路。我用下标m表示某人是木工，下标d表是电工：1.{1}┐丙m→甲dP2.{2}┐丁m→乙dP3.{3}丙m∧丁mP4.{4}┐甲d∧┐乙dP（假设甲乙都非电工，如果有矛盾就证明至少为d）5.{4}┐甲dT4分解6.{4}┐乙dT4分解7.{1.4}丙mT1.5否定后件8.{2.4}丁mT2.6否定后件9.{1.2.4}丙m∧丁mT7.8组合这样一来就没有一个为假的命题了，与题设不相符合，所以第4行的引入不能满足该题条件，用归谬律将4归谬，所以证明：┐（┐甲d∧┐乙d），即：甲d∨乙d21．已知下列三句话一真两假，问：甲、乙、丙、丁的名次如何排定？（1）若乙第二，则甲第一。（2）若丙第三，则甲第一。（3）甲不是第一，解：(a)甲或是第一或不是第一；若甲是第一（后件真，则这个蕴涵一定为真），则(1)、(2)均真，不合题设；故(3)“甲不是第一”为真；(b)(3)真，根据题设，则(1)与(2)均假，因而(4)乙是第二、(5)丙是第三、(6)甲不是第一；(c)由(4)、(5)、(6)可推甲、乙、丙和丁的名次依次为第4、2、3、1名。22．已知以A、B为前提可以必然推出C，而D与C矛盾，E与A矛盾。试证明：由D和B可以必然推出E。解：1.{1}A∧B→CP2.{2}（D∧┐C）∨（┐D∧C）P3.{3}（E∧┐A）∨（┐E∧A）P4.{4}DP5.{2.4}┐CT2.4肯定否定6.{1.2.4}┐（A∧B）T1.5否定后件7.{1.2.4}┐A∨┐BT6德摩根8.{5}BP9.{1.2.4.5}┐AT7.8否定肯定10.{1.2.3.4.5}ET3.9否定肯定11.{1.2.3.4.5}D∧BT4.8组合12.{1.2.3}D∧B→ED4.8.10.11