唐山市2012—2013学年度高三年级期末考试数学理

唐山市2012-2013学年高三期末考试数学（理）试题说明：一、本试卷分为第I卷和第II卷，第I卷为选择题；第II卷为非选择题，分为必考和选考两部分，二、答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．三、做选择题时，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑．如需改动，用橡皮将原选涂答案擦干净后，再选涂其他答案，四、考试结束后，将本试卷与原答题卡一并交回．参考公式：样本数据nxxx,,,21的标准差；xxxxxxxnsn其中],)()()[(122221为样本平均数；柱体体积公式：为底面面积其中SShV,、h为高；锥体体积公式：hSShV,,31为底面面积其中为高；球的表面积、体积公式：,34,432RVRS其中R为球的半径。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求．1．复数2212ii=A．2B．—2C．2iD．—2i2．下列函数中，满足22()[()]fxfx的是A．()lnfxxB．()|1|fxxC．3()fxxD．()xfxe3．执行右边的程序框图，输出的结果为A．15B．16C．64D．654．椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，以FA为直径的圆经过椭圆的上顶点，则椭圆韵离心率为A．512B．312C．22D．325．设x，y满足4,21,21,xyxyzxyx则的最大值为A．3B．5C．163D．1936．一个三棱锥的三视图如图，则该三棱锥的体积为A．13B．12C．23D．167．等比数列132423{},17,68,naaaaaaa中则=A．32B．256C．128D．648．已知函数2()1,fxxmx若命题“000,()0xfx”为真，则m的取值范围是A．（—∞，-2]B．[2，+∞）C．（—∞，-2）D．（2，+∞）9．△ABC中，点P满足(),APtABACBPAPCPAP，则△ABC一定是A．直角三角形B．等腰三角形C．等边三角形D．钝角三角形10．函数xxexyex）的一段图象是11．已如点M（1，0）及双曲线2213xy的右支上两动点A，B，当∠AMB最大时，它的余弦值为A．12B．—12C．13D．—1312．四面体ABCD的四个顶点在同一球面上，AB=BC=CD=DA=3，AC=23，BD=6，则该球的表面积为A．14πB．15πC．16πD．18π第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在题中横线上．13．3位数学教师和3位语文教师分配到两所不同的学校任教，每校3位，且每所学校既有数学教师，也有语文教师，则不同的分配方案共有种．14．已知tan()2,cos24则=。15．曲线0,,2yyxyx所围成的封闭图形的面积为．16．数列111{}2,,{}1nnnnnaaaaaa满足则的前80项的和等于。三、解答题：本大题共70分，其中（17）一（21）题为必考题，（22），（23），（24）题为选考题，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且,sin3cos2sin.abAAB（I）求角C的大小；（II）求abc的最大值．18．（本小题满分12分）从某节能灯生产线上随机抽取100件产品进行寿命试验，按连续使用时间（单位：天）共分5组，得到频率分布直方图如图．（I）以分组的中点数据作为平均数据，用样本估计该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命；（II）将以上统诗结果的频率视为概率，从该生产线所生产的产品中随机抽取3件，用X表示连续使用寿命高于350天的产品件数，求X的分布列和期望．19．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面AA1B1B为正方形，侧面BB1C1C为菱形，∠CBB1=60°，AB⊥B1C。（I）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；（II）求二面角B-AC-A1的余弦值．20．（本小题满分12分）设圆F以抛物线P：24yx的焦点F为圆心，且与抛物线P有且只有一个公共点．（I）求圆F的方程；（Ⅱ）过点M（-1，0）作圆F的两条切线与抛物线P分别交于点A，B和C，D，求经过A，B，C，D四点的圆E的方程．21．（本小题满分12分）已知函数2()ln.fxaxx（I）讨论函数f（x）单调性；（Ⅱ）当1,028at时，证明：曲线()yfx与其在点(,())Ptft处的切线至少有两个不同的公共点．请考生在第（22），（23），（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AC的中点，BD交AC于点E．（I）求证：CD2=DE2=AE×EC;（II）若CD的长等于⊙O的半径，求∠ACD的大小．23．（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点D为极点，以x轴正半轴为极轴，曲线Cl的极坐标方程为2cos，曲线C2的参数方程为cos,(sinxttyt为参数）。（I）当4时，求曲线Cl与C2公共点的直角坐标；（II）若2，当变化时，设曲线C1与C2的公共点为A，B，试求AB中点M轨迹的极坐标方程，并指出它表示什么曲线．24．（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设()||,.fxxaaR（I）当13,()3xfx时，求a的取值范围；（II）若对任意x∈R，()()12fxafxaa恒成立，求实数a的最小值．河北省唐山市2012-2013学年高三期末考试数学（理）试题参考答案一、选择题：CCDADADCBBCA二、填空题：（13）18（14）45（15）103（16）－702三、解答题：（17）解：（Ⅰ）sinA＋3cosA＝2sinB即2sin(A＋3)＝2sinB，则sin(A＋3)＝sinB．…3分因为0＜A，B＜，又a≥b进而A≥B，所以A＋3＝－B，故A＋B＝23，C＝3．…6分（Ⅱ）由正弦定理及（Ⅰ）得a＋bc＝sinA＋sinBsinC＝23[sinA＋sin(A＋3)]＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋6)．…10分当A＝3时，a＋bc取最大值2．…12分（18）解：（Ⅰ）样本数据的平均数为：175×0.05＋225×0.15＋275×0.55＋325×0.15＋375×0.1＝280．因此，该生产线所生产的节能灯的预期连续使用寿命为280天．…5分（Ⅱ）依题意，X～B(3，110)．X的可能值为0，1，2，3．P(X＝0)＝(910)3＝7291000，P(X＝1)＝C13×110×(910)2＝2431000，P(X＝2)＝C23×(110)2×910＝271000，P(X＝3)＝(110)3＝11000．…9分X的分布列为X0123P7291000243100027100011000…10分数学期望E(X)＝3×110＝310（件）．…12分（19）解：（Ⅰ）由侧面AA1B1B为正方形，知AB⊥BB1．又AB⊥B1C，BB1∩B1C＝B1，所以AB⊥平面BB1C1C，又AB平面AA1B1B，所以平面AA1B1B⊥BB1C1C．…4分（Ⅱ）由题意，CB＝CB1，设O是BB1的中点，连结CO，则CO⊥BB1．由（Ⅰ）知，CO⊥平面AB1B1A．建立如图所示的坐标系O-xyz．其中O是BB1的中点，Ox∥AB，OB1为y轴，OC为z轴．设AB＝2，则A(2，－1，0)，B(0，－1，0)，C(0，0，3)，A1(2，1，0)．AB→＝(－2，0，0)，AC→＝(－2，1，3)，AA1→＝(0，2，0)．…6分设n1＝(x1，y1，z1)为面ABC的法向量，则n1·AB→＝0，n1·AC→＝0，即－2x1＝0，－2x1＋y1＋3z1＝0．取z1＝－1，得n1＝(0，3，－1)．…8分设n2＝(x2，y2，z2)为面ACA1的法向量，则n2·AA1→＝0，n2·AC→＝0，即2y2＝0，－2x2＋y2＋3z2＝0．取x2＝3，得n2＝(3，0，2)．…10分所以cosn1，n2＝n1·n2|n1||n2|＝－77．因此二面角B-AC-A1的余弦值为－77．…12分（20）解：（Ⅰ）设圆F的方程为(x－1)2＋y2＝r2（r＞0）．将y2＝4x代入圆方程，得(x＋1)2＝r2，所以x＝－1－r（舍去），或x＝－1＋r．圆与抛物线有且只有一个公共点，当且仅当－1＋r＝0，即r＝1．故所求圆F的方程为(x－1)2＋y2＝1．…4分（Ⅱ）设过点M(－1，0)与圆F相切的斜率为正的一条切线的切点为T．连结TF，则TF⊥MT，且TF＝1，MF＝2，所以∠TMF＝30°．…6分直线MT的方程为x＝3y－1，与y2＝4x联立，得y2－43y＋4＝0．记直线与抛物线的两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1＋y2＝43，y1y2＝4，x1＋x2＝3(y1＋y2)－2＝10．…8分从而AB的垂直平分线的方程为y－23＝－3(x－5)．令y＝0得，x＝7．由圆与抛物线的对称性可知圆E的圆心为E(7，0)．…10分|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝(1＋3)[(y1＋y2)2－4y1y2]＝82．又点E到直线AB的距离d＝7－0＋12＝4，所以圆E的半径R＝(42)2＋42＝43．因此圆E的方程为(x－7)2＋y2＝48．…12分BCB1OC1A1zyxA（21）解：（Ⅰ）f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)＝2ax－1x．（1）若a≤0，则f(x)＜0，f(x)在(0，＋∞)是减函数；…2分（2）若a＞0，则当x∈(0，2a2a)时，f(x)＜0，f(x)在(0，2a2a)是减函数；当x∈(2a2a，＋∞)时，f(x)＞0，f(x)在(2a2a，＋∞)是增函数．…4分（Ⅱ）曲线y＝f(x)在P(t，f(t))处的切线方程为y＝f(t)(x－t)＋f(t)，且P为它们的一个公共点．设g(x)＝f(x)－[f(t)(x－t)＋f(t)]，则g(x)＝f(x)－f(t)，有g(t)＝0，且g(t)＝0．…6分设h(x)＝g(x)＝－14x－1x－f(t)，则当x∈(0，2)时，h(x)＝－14＋1x2＞0，于是g(x)在(0，2)是增函数，且g(t)＝0，所以当x∈(0，t)时，g(x)＜0，g(x)在(0，t)是减函数；当x∈(t，2)时，g(x)＞0，g(x)在(t，2)是增函数．故当x∈(0，t)或x∈(t，2]时，g(x)＞g(t)＝0．…9分若x∈(2，＋∞)，则g(x)＝－18x2－lnx－[f(t)(x－t)＋f(t)]＝－18x2＋(14t＋1t)x－18t2－1－lnxt＜－18x2＋(14t＋1t)x－18t2－1＝－18x(x－2t－8t)－18t2－1．当x＞2t＋8t时，g(x)＜－18t2－1＜0．所以在区间(2，2t＋8t)至少存在一个实数x0＞2，使g(x0)＝0．因此曲线y＝f(x)与其在点P(t，f(t))处的切线至少有两个不同的公共点．…12分（22）解：（Ⅰ）∵∠ABD＝∠CBD，∠ABD＝∠ECD，∴∠CBD＝∠ECD，又∠CDB＝∠EDC，∴△BCD∽△CED，∴DEDC＝DCDB，∴CD2＝DE×DB，∵DE×DB＝DE×(DE＋BE)＝DE2＋DE×BE，DE×BE＝AE×EC，∴CD2－DE2＝AE×EC．…6分（Ⅱ）连结OC，OD，由已知可知△ODC为等边三角形，BCFADMxyOT∴∠COD＝60．∴∠CBD＝12∠COD＝30，∴∠ACD＝∠CBD＝30．