四川省绵阳南山中学2013届高三零诊考试数学文

”·1·2012年8月30日3：50—5：50绵阳南山中学高2013级第五期零诊考试数学试题（文史财经类）范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数和三角函数.命题：张家寿审题：王怀修第I卷（选择题）一、选择题：每小题5分，共60分.1.与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是()A．若a∉M，则b∉MB．若b∉M，则a∈MC．若b∈M，则a∉MD．若a∉M，则b∈M2.全集U＝R，A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{y|y＝cosx，x∈R}，则下图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x－1或x2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x≤1}D．{x|0≤x≤1}3.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝2－∣x∣4.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y0，cosα＝35，则tanα＝()A．-34B.34C.43D.-435.若a＝50.2，b＝0.50.2，c＝0.52，则()A．abcB．bacC．cabD．bca6.设函数f(x)＝logax(a0且a≠1)，若f(x1x2…x2013)＝8，则f(x12)＋f(x222)＋…＋f(x20132)＝()A．4B．8C．16D．2loga87.函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是()A.），（423B.12，4C.1，52D.32，28.函数y＝log2sinx在x∈π6，π4时的值域为()A．[－1,0]B.21-1-，C．[0,1)D．[0,1]9.已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝lnx－2x的零点，则g(x0)等于()A．4B．3C．2D．110.已知f(x)＝)0,1[,1]1,0[,12xxxx，则下列四图中所作函数的图像错误的是()”·2·11.若x∈R，n∈N*，规定：Hnx＝x(x＋1)(x＋2)…(x＋n-1)，例如：H3－3＝(-3)·(-2)·(-1)＝-6，则函数f(x)＝x·H7x－3()A．是奇函数不是偶函数B．是偶函数不是奇函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数12.若函数f(x)＝－xex，则下列命题正确的是()A．对任意a∈－∞，1e，都存在x∈R，使得f(x)aB．对任意a∈1e，＋∞，都存在x∈R，使得f(x)aC．对任意x∈R，都存在a∈－∞，1e，使得f(x)aD．对任意x∈R，都存在a∈1e，＋∞，使得f(x)a第II卷（非选择题）二、填空题：每小题4分，共16分.13.已知幂函数f(x)＝k·xα的图像过点12，22，则k＋α＝________.14.化简(log43＋log83)(log32＋log92)＝________.15.若函数f(x)的导函数f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________.16.已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图像如右图所示，则方程f[g(x)]＝0有且仅有_____个根；方程f[f(x)]＝0有且仅有______个根．三、解答题：前5道题每题12分，最后一道题14分，本大题共74分.17.(12分)已知c0.设命题p：函数y＝cx为减函数，命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x1c恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题，求c的取值范围．18.(12分)已知函数f(x)＝ax2＋(b－8)x－a－ab(a≠0)，当x∈(－3,2)时，f(x)0；当x∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f(x)0.”·3·(1)求f(x)在[0,1]内的值域；(2)c为何值时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．19.(12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)（A0，ω0，|φ|π2）的一段图像如下所示．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.20.(12分)某公司计划投资A、B两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图(1)，B产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量的单位均为万元)．(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司有10万元资金，并全部投入A、B两种产品中，问：怎样分配这10万元资金，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－43.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－k有三个零点，求实数k的取值范围．”·4·22.(14分)已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx(k∈R)是偶函数．(1)求k的值；(2)设g(x)＝log4a·2x－43a，若函数f(x)与g(x)的图像有且只有一个公共点，求实数a的取值范围．2013级第五期零诊考试数学试题（文）参考答案1．C析：命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是“若b∈M，则a∉M”，又原命题与逆否命题为等价命题，故选C.2．D析：阴影部分表示的集合是A∩B.依题意知，A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|－1≤y≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}，故选D.3．B析：A选项中，函数y＝x3是奇函数；B选项中，y＝|x|＋1是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数；C选项中，y＝－x2＋1是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数；D选项中，y＝2－|x|＝12|x|是偶函数，但在(0，＋∞)上是减函数．故选B.4．D析：cosα＝39＋y2＝35，∴y2＝16.∵y0，∴y＝－4，∴tanα＝－43.5．A析：a＝50.250＝1,00.520.50.20.50＝16.C析：依题意有loga(x1x2…x2013)＝8，而f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x20132)＝logax21＋logax22＋…＋logax20132＝loga(x1x2…x2013)2＝2loga(x1x2…x2013)＝2×8＝16.7．A析：函数f(x)的定义域是(－1,4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－x－322＋254在(－1,4)上的减区间为32，4.∵e1，∴函数f(x)的单调递减区间为32，4.8．B析：x∈π6，π4，得12≤sinx≤22，∴－1≤log2sinx≤－12.9．C析：因为f(2)＝ln2－10，f(3)＝ln3－230，故x0∈(2,3)，g(x0)＝[x0]＝2.10．D析：因f(x)＝x＋1，x∈[－1，0，x2＋1，x∈[0，1]，其图像如图，验证知f(x－1)，f(－x)，f(|x|)的图像均正确，只有|f(x)|的图象错误．11．B析：f(x)＝x(x－3)(x－2)(x－1)x(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝x2(x2－1)(x2－4)(x2－9)，∴f(x)是偶函数．12．A析：f′(x)＝－ex(x＋1)，由于函数f(x)在(－∞，－1)上递增，在(－1，＋∞)上递减，故f(x)max＝f(－1)＝1e，故任意a∈－∞，1e，∃x0∈R，f(x0)a.13.32析：∵f(x)＝k·xα是幂函数，∴k＝1.又f(x)的图像过点12，22，∴12α＝22，”·5·∴α＝12.∴k＋α＝1＋12＝32.14.54析：原式＝12log23＋13log23log32＋12log32＝56log23·32log32＝54.（方法多）15．(0,2)析：由f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)知，当x∈(1,3)时，f′(x)0.函数f(x)在(1,3)上为减函数，函数f(x＋1)的图像是由函数y＝f(x)的图像向左平移1个单位长度得到的，所以(0,2)为函数y＝f(x＋1)的单调减区间．16．6、5析：由图可知方程f(x)＝0在[-2,2]上的根有三个，分别为x＝0，x＝a∈(-2，-1)，x＝b∈(1,2)．①f[g(x)]＝0等价于g(x)＝0或g(x)＝a∈(－2，－1)或g(x)＝b∈(1,2)，结合y＝g(x)在[－2,2]的图像，可以发现g(x)＝0，g(x)＝a∈(－2，－1)，g(x)＝b∈(1,2)各有两个解，合计为6个解；②f[f(x)]＝0等价于f(x)＝0或f(x)＝a∈(－2，－1)或f(x)＝b∈(1,2)，结合y＝f(x)在[－2,2]的图像，可以发现f(x)＝0，f(x)＝a∈(－2，－1)，f(x)＝b∈(1,2)的根分别为3个，1个，1个，合计为5个解．17．解：若命题p为真，则0c1，由2≤x＋1x≤52知，要使q为真，需1c2，即c12.若p或q为真命题，p且q为假命题，则p、q中必有一真一假，当p真q假时，c的取值范围是0c≤12；当p假q真时，c的取值范围是c≥1.综上可知，c的取值范围是c0c≤12或c≥1.18．解：由题意得x＝－3和x＝2是函数f(x)的零点且a≠0，则－b－8a＝－3＋2，－a－aba＝－3×2.解得a＝－3，b＝5.∴f(x)＝－3x2－3x＋18.(1)由图像知，函数在[0,1]内单调递减，∴当x＝0时，y＝18；当x＝1时，y＝12，∴f(x)在[0,1]内的值域为[12,18]．(2)令g(x)＝－3x2＋5x＋c.∵g(x)在56，＋∞上单调递减，要使g(x)≤0在[1,4]上恒成立，则需要g(1)≤0.即－3＋5＋c≤0，解得c≤－2，∴当c≤－2时，不等式ax2＋bx＋c≤0在[1,4]上恒成立．19．解：(1)由图知A＝3，34T＝4π－π4＝15π4，∴T＝5π，∴ω＝25，∴f(x)＝3sin25x＋φ.∵f(x)的图像过点(π4，0)，∴3sinπ10＋φ＝0，∴π10＋φ＝kπ(k∈Z)，∴φ＝kπ－π10(k∈Z)，∵|φ|π2，∴φ＝－π10，∴f(x)＝3sin25x－π10.(2)由2kπ＋π2≤25x－π10≤2kπ＋3π2得，5kπ＋3π2≤x≤5kπ＋4π(k∈Z)，∴函数f(x)的单调减区间为5kπ＋3π2，5kπ＋4π(k∈Z)．函数f(x)的最大值为3，取到最大值时x的集合为xx＝5kπ＋3π2，k∈Z.20．解：(1)设投资x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元．依题意可设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，由图(1)，得f(1)＝0.2，即k1＝0.2＝15.由图(2)，得g(4)＝1.6，即k2×4＝1.6.∴k2＝45，故f(x)＝15x(x≥0)，g(x)＝45x(x≥0)．(2)设B产品投入x万元，则A产品投入10－x万元，设公司利润为y万元，由(1)得y＝f(10－x)＋g(x)＝－15x＋45x＋2(0≤x≤10)．∵y＝－15x＋45x＋2＝－15(x－2)2＋145，0≤x≤10，”·6·∴当x＝2，即x＝4时，ymax＝145＝2.8，因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．21．解：(1)由题意可知f′(x)＝3ax2－b，于是f′2＝12a－b＝0，f2＝8a－2b＋4＝－43，解得a＝13，b＝4.故所求的解析式为f(x)＝13x3－4x＋4.(2)由(1)可知f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表所示：x(－∞，－2)－2(－2,2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)增283减－43增因此，当x＝－2时，f(x