动点最值基本模型

动点最值基本模型原创：向北向北数学2018-05-14从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是2018中考第10或14题的热门。本文以瑶海蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。一、最值类型1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。（本公众号有“【解题模型】将军饮马”）2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。（本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文”）4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模20题】【瑶海一模第10题】、小垂+穿心【如庐阳二模第10题】、饮马+穿心【如瑶海二模第10题】饮马+转换【如蜀山二模第10题】等※二、分类例析一、饮马型例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3,DE=1,点P在AC上，则PE+PD的最小值是_____.解析：如图例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.解析：如下图二、小垂型例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________.解析：如下图三、穿心型例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____.解析：如下图四、转换型例5:如图，P为菱形ABCD内一点，且P到A、B两点的距离相等，若∠C=60°，CD=4，则的最小值为____________解析：因为P到A、B两点的距离相等，所以P在AB的垂直平分线上，又因菱形ABCD中∠C为60°，所以△ABD为等边三角形，AB的垂直平分线经过点D,如下图由∠ADP=30度，可将PD的一半进行转换，即过点P作AD的垂线。如图，即B、P、F三点共线，且BF⊥AD时最短五、三边型例6：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为________解析：如下图因为AB为定长，所以取其中点E，则OE为定值，在△ODE中，DE为定值，OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD的最大值。例7：如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=8，点D在AC上，且AD=6，将线段AD绕点A旋转至AD’，F为BD’的中点，连结CF，则线段CF的取值范围.解析：解法一：瓜豆原理，点F的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。解法二：如下图，取AB的中点M，连接FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由三角形中位线得FM为定值，所以在△CFM中，三边关系可得到CF的取值范围.例8：如图，BA=1，BC=2，以AC为一边做正方形AEDC，使E，B两点落在直线AC的两侧，当∠ABC变化时，求BE的最大值.解析：将△AEB以点A中心顺时针旋转90°，得到△ACB’,如下图所示，连接BB’，所以B’C=BE，在△BB’C中，BB’为定值，BC为定值，三角形三边关系即可得到B’C的最大值，即BE的值.6.结合型例9：如图，正方形ABCD中，AB=4,E为CD边的中点，F、G为AB、AD边上的点，且AF=2GD,连接E、DF相交于点P，当AP为最小值时，DG=________解析：由AF=2GD，AD=2DE，得△AFD∽△DGE.如下图∴GE⊥DF,那么线段AP中，A点为定点，P为动点，由∠DPE为直角，所以P的轨迹为一以DE中点为圆心的一段弧。如下图由一箭穿心可得到AP的最小值为A,P,M三点共线，而此时，由△DMP∽△FAP可得到AP=AF即可得到结果.※三、模考分析【庐阳二模第10题】如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______如图，在平面直角坐标系中，A(6,0),B(0,8),点C在y轴正半轴上，点D在x的正半轴上，且CD=6，以CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB于点E、F，则线段EF的最大值为______解析：线段EF由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦心距存在变量之间的关系，所以首先作出弦心距.如下动图，所以当PQ最小时，EF最大。方法一：穿心＋小垂（P点为以O点圆心，OP为半径的弧上）求出OQ的最值，即PQ的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得EF.方法二：三边+小垂（三角形OPQ）求出OQ的最值……解析：由抛物线解析式可求出点A、B的坐标分别为，所以∠OAP=30°，如下图【瑶海二模第10题】如图，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,点E,F分别为AD,DC边上的点，且EF=2,点G为EF的中点，点P为BC上一动点.则PA+PG的最小值为（）A.3B.4C.2√5D.5解析：因为G为EF的中点，EF=2，所以点G的轨迹为以D为圆心DG为半径的弧，【饮马+穿心】即A’，P，G，D四点共线时，PA+PG最小（PA+PG=PA’+PG+DG）【练习1】如图，已知圆O的半径为13，弦AB长为24，弦CD长为10，点N为CD的中点，O到弦AB的距离为OM,则MN的最小值是________【练习2】如图,A,B为圆O上两点，以AB边直角边作等腰直角三角形ABC，若圆O的半径为5,则OC的最小值为