华中师范大学实变函数2011(B)

华中师范大学2011–2012学年第一学期期末考试试卷（B卷）课程名称实变函数课程编号83410014任课教师李工宝、何穗、刘敏思、郑高峰题型判断题叙述题计算题解答题总分分值15152050100得分得分评阅人一、判断题（判断正确、错误，请在括号中填“对”或“错”。共5小题，每题3分，共5×3=15分）1、由1，2两个数构成的实数列全体具有连续势（即连续基数）。（）2、设E是1R中的可数集，则E仍为可数集。（）3、设G为开集，则G一定可以表示成一列闭集的并集（即G是F型集）。（）4、若Q为1R上的有理数集，1ER为可测集，则0mQE。（）5、设{()nfx}是[0,1]上的一列非负单调可测函数，则lim()nnfx是[0,1]上的Lebesgue可积函数。（）得分评阅人二、叙述题(共5小题,每题3分，共5×3=15分)1、请准确地叙述反映单调递增非负可测函数列Lebesgue积分与极限可交换性的Levi的单调收敛定理。院（系）：专业：年级：学生姓名：学号：-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第1页(共3页)2、请准确地叙述反映依测度收敛与几乎处处收敛之间关系的Lebesgue定理（勒贝格定理）。3、请准确地叙述反映可测函数列与连续函数之间关系Lusin定理（鲁津定理）。4、请准确地叙述反映两个集合对等的Bernstein定理。5、请准确地叙述反映非负可测函数的重积分化累次积分的Fubini定理。得分评阅人三、计算题（共2题，每题10分，共20分）1、设P为[0,1]上的Cantor三分集，32,[0,1]()ln2sin(),xxxexPfxexP，求[0.1]()dfxx。2、计算22[0,]limsin(cos)d1xnxnnnxeexnx。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第2页(共3页)得分评阅人四、解答题（共5小题，共50分）1、（10分）设nER是可测集，则存在E一列单调上升的闭子集nF，使得，limnnmFmE。2、（5分）若()fx为1R上的可测函数，1RU为闭集，则11()()fUxRfxU，是可测集。3、（10分）设RqE是可测集，()fx为E上的可测函数，且存在零测集AE，使得，0()fx于EA，记[()]nEExfxn，证明：lim()d()dnEEnfxxfxx。4、（10分）设()()nfxfx于[0,1]E，证明：21ln1()()11cos()()2nnfxfxfxfx于E。5、（15分）设nER为可测集，(,)fxy为1RE上的实函数，（1）若对几乎所有的xE，(,)fxy都是y在1R上的连续函数；对任取的1Ry，(,)fxy都是x在E上的可测函数，证明：对于任何E上的实值可测函数()gx，()(,())Fxfxgx也是E上的可测函数。（2）设(,)fxy还满足：存在常数0C，使得，对任意1,xEyR，(,)fxyCy，若(),()ngxgx是E上的可积函数，且lim()()d0nEngxgxx，证明：lim,(),()d0nEnfxgxfxgxx。-------------------------------------------------密----------------------------------封-----------------------------线---------------------------------------------------------第3页(共3页)