华师2016年9月《高等几何》离线作业

华师《高等几何》离线作业一、填空题1．用公理法建立的几何学演绎体系是由原始概念的列举、定义叙述、公理列举、定理的叙述和证明等四个方面组成的。2．绝对几何学的公理体系是由四组，4，16条公理构成的。3．罗巴切夫斯基函数)(x当平行矩x连续递增时，其对应的平行角连续递减。4．斜率为k的直线上的无穷远点的齐次坐标是（1，k,0）。5．两个射影点列成透视对应的充要条件是点列的底的交点是白对应点。6．欧氏平面上添加了无穷远直线后，成为仿射平面。7．共线4点DCBA,,,，若满足（AB，CD）=-1，则称点对BA,与点对DC,互成调和共轭。8．平面内两点)0,,1(),0,,1(iJiI称为平面内的圆点。9．罗巴切夫斯基函数)(x当平行矩x连续递增时，其对应的平行角连续递减。10．球面三角形的三角和常小于6d而大于2d。球面三角形中两角和减去第三角常小于2d。11．射影变换T是对合的充要条件是任何一对对应元素与两个白对应元素调和共扼。12．共线4点DCBA,,,，若满足1),(CDAB，则称点对BA,与点对DC,互成调和共扼。13．平面内两点（1，L,0）、(1,-L,0)称为平面内的圆点。14．几何学公理法从开始到形成，大体经历了3阶段。15．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学。16．欧几里得第五公设叙述为：如果两条直线与第三条直线相交，所构成的同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧相交17．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。18．罗巴切夫斯基平面几何的平行公理叙述为通过直线外的每一点，至少存在两条直线与已知直线不相交19．罗氏平面上三角形内角和小于二直角。20．布里安香定理叙述为外切于一条非退化的二阶曲线的简单六线形的三对顶点的连续共点。21．欧氏直线上添加了无穷远点后，成为仿射直线。22．射影平面上一点的射影坐标与另一种射影坐标的变换是非奇异线性变换。23．通过圆点的任意虚直线称为迷向直线。24．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得.25．“过一点作一直线”和“在直线上取一点”叫做对偶运算。26．在欧氏平面上萨开里四边形是矩形，而在罗氏平面上，萨开里四边形上底角小于直角.27．笛沙格定理叙述为两个三点形对应顶点的连线交于一点，那么对应边的交点在同一直线上28．不共底又非透视对应的二射影点列恒可表示成2个透视对应的积。29．二阶曲线上的完全四点形的对角三点形是白极三点形.30．巴斯加定理叙述为内接于一条非退化的二阶曲线的简单六点形的三对对边的交点共线31．《几何原本》被认为是用古典公理法建立的几何学，这本书的作者是欧几里得。二、计算题1．求4点（AB，CD）的交比，其中)5,5,1(),0,0,1(),1,1,1(),1,1,2(DCBA。答：322．求射影对应式，使直线L上的坐标是1，2，3的三点对应直线L上的坐标为3,2,1的三点。答：xx3．求点)1,2,1(P关于二阶曲线064223312121XXXXXX的极线方程。答：0429321XXX4．求过点)0,,1(i上的实直线。答：实直线为03x5．求重叠一维基本形的射影变换066自对应元素的参数。答：2，36．求由两对对应元素1与21，0与2所决定的对合方程。答：027．求通过两直线（1，1，1）、（2，1，3）的交点与点032321uuu的直线的坐标。答：)4,2,1(8．求点)7,2,5(P关于二阶曲线042632313121232221XXXXXXXXX的极线方程。答：02X9．求4直线1234(,)llll的交比，其中1234,,,llll分别为03,0,02,0yxyxyxyx.答：510．求射影对应式，使直线L上的坐标是3,1,0的三点对应直线L上的坐标为6,2,0的三点。答：0211．求直线04321xxx上无穷远点的齐次坐标。答：)0,1,1(12．设点2),(),1,0,1(),1,1,1(),1,1,1(CDABCBA，求点D的坐标。答：)3,1,3(D13．求连接)1,2,1(ii与)1,2,1(ii的直线方程。答：03321XXX14．求射影对应式，使直线L上的坐标是1,2,0的三点对应直线L上的坐标为0,3,1的三点。答：0115．求点)1,1,2(P关于二阶曲线034222121XXXX的极线方程。答：041921XX三、证明题1．求证：03222121uuuu决定的点在相互垂直的两条直线上。答：设))((32121222121uuuuuuuu，可得两个点的方程为0,02121uuuu用坐标表示为)0,,1(),0,,1(.这两个点在直线簇bxyaxy,上。又,为0132xx的根，根据韦达定理，1，故03222121uuuu决定的点)0,,1(),0,,1(在相互垂直的两条直线上。2．已知共面三点形ABC与CBA是透视的，求证六直线BCACABCBCABA,,,,,属于同一个二级曲线。答：考虑以CBACBA,,,,,为顶的简单六线形。三对对顶连线是AACCBB,,，由题设它们共点。由布里安香定理的逆定理知结论成立。3．设四点)7,9(),4,6(),5,7(),1,3(2121QQPP，求证：1),(2121QQPP。答：直接计算即可。4．设BA,在二阶曲线c上，DC,不在c上，BDAC,分别交c于QP,；BCAD,分别交c于VU,。求证：UVPQCD,,共点。答：只须证,,CDPQUV三点共线。为此考虑六点形APQBVU，因为DUAQBXVUPQCBVAP,,三点共线，由巴斯加定理得证。5．直线AB和CD交于U，AC和BD交于V，U、V分别交AD、BC于F、G，BF交AC于L。求证：LG、CF、AU交于一点。答：考虑三点形UCGAFL,，因对应边FL与CG，LA与GU，AF与UC分别交于共线三点，所以根据笛沙格定理的逆定理知AUCFLG,,共点。6．设直线OX与三点形ABC三边ABCABC,,分别交于CBA,,，证明：),(),(OCBACXABO答：令OB与AC交于Y，则),,,(),,,()(BAOCBCYAB因),(),(BCAYCXABO，),(),(BAOCOCBA，所以命题得证.7．设三点形ABC与'''CBA是透视的，'BC与CB'，'CA与AC'，'AB与BA'分别交于NML,,。证明MNCBBC,'',三线共点。答：考虑三点形',''BCAACB，令BC与''CB的交点为T，根据笛沙格定理可以证明AC'与'CA的交点M，'BA与AB'的交点N，点T三点共线，因此MNCBBC,'',三直线共点T.四、综合题1．作已知点P关于二阶曲线C的极线。CP答：过P作C的二割线AB、CD.连AC，BD交于E，连AD，BC交于F，则EF为P点关于曲线C的极线。2．作出下图的对偶图形。答：3．作出下图的对偶图形。答：4．作图证明：给定直线p上四个不同点DCBA,,,，建立一个射影对应使得pADCC’D”D’PBrA’),,,(),,,(BADCpDCBAp答：如图，取不在p上的点P，通过B的不同于p的直线q与PDPCPA,,分别交于DCA,,。记PD为r，CA与r交于D，则有),,,(),,,(),,,(),,,(BADCpDPDDrDCBAqDCBApACP所以),,,(),,,(BADCpDCBAp.5．已知P点在二阶曲线上，求作点P的极线。答：过P任一直线PQ，作出直线PQ的极点R，则PR就是所求的点P的极线。