回归分析在变形设计中的应用模型

回归分析在变形设计中的应用模型摘要本文通过建立线性回归模型，在分析变型设计的基本特点与存在问题之后，用回归分析的方法解决变型设计中设计变量之间的隐含不确定的关系.应用实例表明，回归分析是一种能够缩短变型设计周期、提高产品质量的有效分析方法.关键词：回归分析模型；变型设计；相关；spss一、问题的提出随着市场竞争的日益激烈，用户对产品的选择不再是传统的、单一的大众化商品，而是追求更加个性化、多样化的产品.由于品种增加、批量减少，对制造商而言，无疑将导致成本增加，制造周期、产品质量等均难以控制.如何在这种形势下赢得竞争优势、在同行业中处于竞争的有利地位，是企业生存、发展的关键.变型设计是企业在实际设计中最为重要且最为广泛的产品设计方法之一，同时也是扩充企业产品型谱，形成产品族的主要方法之一.变型设计的目的是在充分利用企业现有资源的同时，快速地响应市场，为市场提供高质量、低成本的产品.回归分析的方法可以定量地分析出变型设计过程中设计变量与性能指标之间相互依赖的不确定关系，以此揭示出产品性能指标与影响其值变化的设计变量之间的内在关系；设计人员可以通过最后得到的回归方程，定量、直观地分析出各个设计变量对性能指标的影响情况.因此，回归分析是一种能使设计人员理解设计本质、缩短设计周期、降低成本、快速进行变型设计的有效方法.在内圆磨床的整体布局设计中，为磨削锥孔的需要，床头箱应能围绕桥板的回转中心旋转一定的角度.如果回转中心的位置设计不当，在旋转的时候可能会与桥板发生干涉，由此会造成很大的经济损失.此时，设计人员往往只能凭借经验对某些可能引起干涉的设计参数反复调整，以达到磨削锥孔的需要.随着CAD技术的发展，可以在产品的设计阶段，借助三维CAD软件进行床头箱旋转的干涉检查实验，以减少不必要的样机损失.但这样并不能帮助设计人员理解回转中心的不同位置对干涉的影响情况以及所产生影响的大小，而且，反复地随机调整各设计变量也会影响设计周期.为此，可以通过回归分析的方法，找出各因素对干涉的影响程度，以便为设计人员提供科学的设计依据.在回归分析中，我们通常所关心的问题有：（1）拟合：建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，从而为进一步的深入研究提供线索；（2）变量选择：在一批自变量中确定哪些变量确实对因变量有影响，而哪些变量对因变量没有实质性的影响；（3）估计：研究自变量对因变量的影响的大小和正负效应；（4）预测：根据已经观测的数据来预测因变量在未经观测中的自变量值上的值.1二、理论模型的建立回归分析是一种研究变量之间非确定性关系的统计方法,面对一组变量，我们要研究其中的一个变量对于其他变量的函数关系.主要有线性回归和多项式回归，在线性回归分析中，因变量和自变量之间的关系被假定为线性的.这是因为在现实世界中，许多变量之间存在大量的线性或近似线性关系，即便它们之间的关系是非线性的，经过适当的变换后，仍可以将变量之间的非线性关系转换为线性关系处理.在多重线性回归模型中，因变量的观测值与理论值（回归函数）之间存在着随机误差.这种随机误差可以解释为由许多不可控制或无法预料的因素的微小影响的迭加所造成的.在这种情况下，我们通常假定随机误差是独立正态分布2N（0，）.这样，在n次观测后，记第i次观测的因变量值为iy，自变量值为12(,,,)iiiipxxxx，我们可以根据以上的假定给出下面的模型：0112(1),1,,(2),1,,,,~(0,)iipipiiyxxeineiniidN（Ι）图1所示为内圆磨床的床头箱与桥板的装配示意图.根据设计需求，其中一项性能指标要求该磨床能磨削30°锥孔.为此，在设计过程中要求床头箱能围绕回转中心旋转的最大角度为30°，而不能与桥板发生干涉.设影响床头箱与桥板发生干涉的设计参数为1234123,,,,,,,XXXXRRR其中12,XX表示桥板回转中心的位置；34,XX表示床头箱回转中心的位置；1R表示床头箱罩壳半径；23,RR表示桥板和罩壳的倒角半径.在建立的回归模型中，因变量取床头箱旋转30°时与桥板的干涉体积V，通过计算机模拟得到实验数据如表1所示.图1床头箱旋转实验2表1各变量实验数据三、模型的有效性检验建立模型后，要对该模型进行回归方程的显著性检验.要检验因变量y与全体自变量12,,pxxx之间是否存在线性相关关系，可提出原假设301:0.pH（1）如果假设（1）成立，则表示所有自变量都与因变量无关，所得到的回归方程完全无用；反之，则说明至少有若干个因素与因变量有关，所得到的回归方程是有用的.记修正的总平方和为221niiSSTyny（2）回归平方和为^^TxxSSRS（3）则我们可以得到平方和分解公式SSTSSRSSE（4）其中，SST刻画因变量观测数据围绕其样本均值的变化总量，SSR刻画由于自变量的变化所引起的因变量变化的总量，SSE刻画由随机误差所引起的因变量变化的总量.由此，我们定义两个相互等价的统计量，来度量模型的拟合优度.首先，定义2SSRRSST（5）2R称为决定系数，R称为复相关系数.定义统计量//(1)SSRpFSSEnp（6）F与2R的关系为222*(1)[/(1)],(1)1[/(1)]npRpnpFFRpRpnpF（7）因此，F与2R相互唯一确定，且互为单调增函数.所以F的值越大说明模型越有效；反之，F的值越小说明模型越无效.对于上述原假设（1），若成立，则F服从F(p，n-p-1)分布，对指定的水平α和给定的F值，当FFα(p，n-p-1)或p=P（F(p，n-p-1)F）α时就拒绝原假设，否则就接受.4四、LS估计与假设检验1.最小二乘估计（LS）利用最小二乘法以及n组观测数据，可以求出经验回归方程^^^^011,ppYXX（8）其中，^为β的最小二乘估计.记20111()()niipipiQyxx（9）对()Q，我们求它的最小点^，就是β的LS估计.这样可得方程组：011100111()2()0()2()0,1,,niipipiniipipijijQyxxQyxxxjp（10）方程（2）是关于参数β的线性方程组，称为正规方程组.记******111,,1,,.,1,,,,(),().(,,).ijijiiiiijijjijiTpyyxxjpnnyyyinxxxXxyy则可解得^^0^**1**1,()().jjiTTxxxyyxXXXySS（11）我们在讨论误差方差2的估计.定义5^^^^011,1,,iiipipeyxxin（12）可以看成ie的估计，称为残差.定义残差平方和2^1niiSSEe（13）则2的无偏估计为21SSEsnp（14）且有212~.npSSE（15）对模型（Ι），我们有如下定理：（1）线性系数β的LS估计^与方差2的估计21SSEsnp相互独立；（2）^21~(,)pxxNS；（3）212~.npSSE2.对参数的区间估计当回归方程的显著性检验是拒绝原假设时，说明回归系数1p不都为0，但这并不排除某些系数可能为0.对回归系数的显著性检验就是要检验回归系数j是否为0，即检验假设:0.jjH若被接受，说明自变量jx对因变量y的影响相对于整个模型来说是比较小的，则可以将自变量jx从模型中剔除；否则，表明jx对y确实有一定的影响.首先讨论检验一个系数的线性函数61122Tppcccc考虑下面假设0:THcb（16）构造检验统计量^011/2()TTxxcbTscSc（17）当假设H成立时，T服从t(n-p-1)分布，因此可以用t检验方法来检验假设H.在来讨论同时检验多个线性函数的问题，假设0:,1,,TllHcblr（18）在该假设下()/~(,1)./(1)HSSRSSRrFFrnpSSEnp（19）可以用F检验方法来对假设H作检验.五、结果分析用SPSS软件（社会统计软件包）计算的输出结果如表2所示.表2回归模型统计量表7回归结果分析如下：（1）从表2可以看出，随着自变量个数的增加，复相关系数及其平方增加，表明回归效果越来越好；同时其估计的标准误差越来越小，表明回归方程越来越符合观测情况.（2）从表3的最后一列可以看出，当12,XX，4,X23,RR都进入方程后，自变量与因变量之间完全无线性关系的概率为0.00，表明拒绝原假设，即所有回归因子的系数不全为0，以上设计变量对发生干涉均有影响.（3）从表4可以看出，回归模型5中的回归方程为4213233139.622408.372276.8561091.761667.003286.269,VXXXRR（20）表示发生干涉时，干涉体积与432,,XRR是负相关性的，而与12,XX是正相关性的，各自变量对因变量的影响程度如各变量的回归系数.（4）根据得到的回归方程，设计人员可以定量、直观地了解各设计变量对干涉的影响程度.如本例中，根据各变量对干涉体积V的贡献、是正相关还是负相关，分别取表1中的边界值，即将42132195,140,180,20,30XXXRR代入回归方程中，可以得到V=-9423.0820.说明各变量取上述值时，不会发生干涉；同时，将上述值代入CAD模型中进行验证，验证结果与回归结果相同，即床头箱与桥板没有发生干涉，说明回归方程对设计的指导作用真实、可靠.（5）31,XR是被剔除的自变量，说明它们对因变量贡献较小，即当31,XR变化时，对床头箱与桥板发生干涉的影响较小，故可以将这两个变量视为平台参数，以保相对稳定.如用户需要提供的是磨削不同锥孔的产品时，设计人员可通过调整其它个性参数完成变型设计.8表3方差分析表9表4回归系数分析表实例证明，回归分析是一种进行产品变型设计的有效工具，它为设计人员更好地理解产品的内在联系提供了理论依据.参考文献[1]周润兰，喻胜华.应用概率统计［M］.北京：科学出版社,1999[2]何晓群，刘文卿.应用回归分析[F].北京：中国人民大学出版社，2001[3]赵继云，高剑峰，钟廷修.支持变型设计的CAD理论和方法的分析与研究［J］.机械设计，1999,16(2):28~31[4]江力，孙守迁，何志均.智能化产品变型设计支持系统模型及其应用［J］.工程设计,1997,(3):14~19[5]余建英，何旭宏.数据统计分析与spss应用[M].北京：人民邮电出版社，2003