单因素实验设计2015410

SingleFactorexperimentNo.140710552YangBoContents:SoftwareAppllicationTest3ConceptofExperimentalDesign1One-factoranalysisofvariance21.SingleFactorExperiment：1.1单因素试验是指只包含一个因素的试验。但并不是说对指标有影响的因素只有一个，事实上，这种因素可能很多，由于各种原因不加考虑，而是在试验中把它们都适当的固定下来，只让一个因素改变，以观察该因素对指标的影响。1.2等重复试验：在一般的单因素试验中，设因素A有r个水平：A1，A2，...,Ar，在每一个水平下重复m次试验。总试验次数n=m1+m2+…+mr记yij是第i个水平下的第j次重复试验的结果，这里i——水平号，j——重复号a.试验指标(experimentalindex)为衡量试验结果的好坏或处理效应的高低，在试验中具体测定的性状或观测的项目。b.试验因素(experimentalfactor)试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验因素。按是否可控制因素可分为：固定因素和随机因素．固定因素：可准确控制且其水平固定后效应也固定，比如：温度、化学药物浓度等．随机因素：因素水平不能严格控制或者说即使其水平可控制但其效应也不固定．比如：动物的窝别、农家肥的效果等．试验因素常用大写字母A、B、C、…等表示。b.因素水平(leveloffactor)试验因素所处的某些特定状态或数量等级称为因素水平，简称水平。比如：不同的温度；溶液不同浓度等．Thedataofsinglefactorexperiment因子A的水平数据和均值1A111211myyy1112111myyyT111/mTy2A222221myyy2222212myyyT222/mTy……rArrmrryyy21rrmrrryyyT21rrrmTy/Singlefactorexperimentbasicassumptions1.每一个总体均服从正态分布2.每一个总体方差相等（称为方差齐性）3.每一总体中抽得的样本相互独立方差分析(analysisofvariance－ANOVA)是由英国统计学家R.A.Fisher于1923年提出的。方差分析是一种特殊的假设检验，是用来判断多组数据之间平均数差异显著性的．把所有数据放在一起，一次比较就对所有各组间是否有差异做出判断，如果没有显著性差异，则认为各组平均数相同；如果发现有差异，再进一步比较是哪组数据与其它数据不同．2.Single-factorANOVA线性模型固定线性模型随机线性模型多重比较Thebasicprincipleofsinglefactoranalysisofvariance（一）线性模型假设某单因素试验有a个水平，每个处理有n次重复，共有na个观测值。这类试验资料的数据模式如表所示。线性模型X1X2X3…Xi…Xa合计1χ11χ21χ31χi1χa12χ12χ22χ32χi2χa23χ13χ23χ33χi3χa3………………jχ1jχ2jχ3jχijχajnχ1nχ2nχ3nχinχan合计平均数总体均数处理效应1x2x3xixaxx1x2x3xixaxx123ia1a2a3aiaaa符号文字表述an因素水平数每一水平的重复数第i水平的第j次观察值第i水平所有观察值的和第i水平均值全部观察值的和总平均值第i水平上的子样方差ijxnjijixx1iixnx1ainjijxx11xanx1aiiijixxnS122)(11可以分解为表示第i个处理观测值总体的平均数。为了看出各处理的影响大小，将再进行分解，其中μ表示全试验观测值的总体平均数(overallmean)，ai是第i个处理的效应(treatmenteffect),表示处理i对试验结果产生的影响。是试验误差，相互独立，且服从正态分布N（0，σ2）。ijxijiijxiiijiijiiaiiaxaa则　　　令　11ijia上式就称为单因素试验的线性统计模型（linearstatisticalmodel）亦称数学模型。方差分析的目的就是要检验处理效应的大小和有无。（二）方差分析的基本思路将总的变差分解为构成总变差的各个部分。即将a个处理的观测值作为一个整体看待，把观察值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源的总体方差估计值；通过这些估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体均值是否相等。方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。njaixijiij,2,1,2,1固定模型因素固定、效应也固定反应到线性模型中即为常数．可要求1.假设固定模型的零假设为：备择假设为：iaaii100:210aH0:iAH故an个观察值的总变异可分解为处理间的变异和处理内的变异两部分。全部观察值的总变异可以用总均方来度量，处理间变异和处理内变异分别用处理间均方和处理内均方来度量。2.平方和与自由度的剖分()()()()()()ijiijiiijiiiijiijxxxxxxxxxxxx、、分别是、、的估计值。总均方的拆分是通过将总均方的分子──称为总离均差平方和，简称为总平方和(totalsumofsquares，SST)，剖分成处理间平方和(sumofsquaresbetweentreatments，SSA)与处理内平方和(sumofsquareswithintreatment，SSe)两部分；将总均方的分母──称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。处理间均方（处理均方，MSA）处理内均方（误差均方，MSe）TdfAdfedfAAAdfSSMSeeedfSSMS总平方和的拆分221111221122111111()[()()][()2()()()](...)2(...)(.)(.)(...)(ananTijiijiijijaniiijiijiijaananiiijiijiiijijaiiiSSxxxxxxxxxxxxxxnxxxxxxxxxxx其中　　1222......11111.)0()()()njijaaannijiijiijiijxxxnxxxx所以　　　ainjiijeaiiAxxSSxxnSS11212)(;)(eATSSSSSS差的大小．各处理内的变异，即误　　　　　　　反映了方和的和，，为各处理内离均差平次的处理间变异；映了重复　　　　　　　　　反的乘积，均差平方和与重复数　　　　　　　　　离的与总平均数，为各处理平均数ainjiijeiaiiAxxSSnnxxxxnSS11212)()(在计算总平方和时，资料中的各个观察值要受这一条件约束，总自由度等于资料中观察值的总个数减1，即an-1。总自由度记为dfT，则dfT=an-1。在计算处理间平方和时，各处理均数要受这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即a-1。处理间自由度记为dfA，则dfA=a-1。0)(11ainjijxx1()0aiixx总自由度的拆分在计算处理内平方和时，要受a个条件的约束，即，i=1,2,...a。故处理内自由度为资料中观察值的总个数减a，即an-a。处理内自由度记为dfe，则dfe=an-a=a(n-1)。因为na-1=(a-1)+(na-a)=(a-1)+a(n-1)所以dfT=dfA+dfe综合以上各式得：0)(1njiijxxATeATdfdfdfadfandf11各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方（误差均方）,分别记为：MST(或ST2)、MSA(或SA2)和MSe(或Se2),即MST=ST2=SST/dfT;MSA=SA2=SSA/dft;MSe=Se2=SSe/dfe注意：在方差分析中不涉及总均方的数值，所以一般不必计算；总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。3.期望均方(expectedmeansquaresEMS）若A是B的无偏估计，则称B是A的数学期望。处理内均方MSe是误差方差2的无偏估计值，即2称为MSe的数学期望。异．是代表了各处理间的差　　　也就是说外，还有效应方差，除了代表随机误差　　　即量；是随机误差的一个估计　　　　　　说明的方差，，是随机误差的期望是，即AAaiiaiiAeeeMSMSanaanMSEMSMSMSE221212222)(11)()(4.统计量当零假设成立时，处理效应的方差为零，亦即各处理观察值总体均数i(i=1，2，…，a)相等时，处理间均方MSA与处理内均方一样，也是误差方差2的估计值。方差分析就是通过MSA与MSe的比较来推断各处理平均数间差异的大小．F=MSA/MSeF具有两个自由度：df1=dfA=a-1;df2=dfe=a(n-1)。0:210aHi查附表7:若F＜，即P＞0.05，不能否定H0，可认为各处理间差异不显著；若≤F＜，即0.01＜P≤0.05,否定H0，接受HA，认为各处理间差异显著，标记“*”;若F≥，即P≤0.01，否定H0，接受HA，认为各处理间差异极显著，标记“**”。),(05.021dfdfF),(05.021dfdfF),(01.021dfdfF),(01.021dfdfF),(05.021dfdfF),(01.021dfdfF方差分析表变异来源平方和自由度均方F值处理间SSAdfAMSA处理内SSedfeMSe总变异SSTdfTF值应与相应的被检验因素齐行;在表的左下方注出显著水平α。随机模型Randommodel:因素随机、效应不固定是试验误差，相互独立，且服从正态分布不再为常数，且服从正态分布1.假设随机模型的零假设为：备择假设为：0:20aH0:2aAHnjaixijiij,2,1,2,1ijia),0(~2aNID),0(~2NID2.总平方和与总自由度的剖分：同固定模型3.数学期望：4.统计量F:随机模型中的结论可推广到这一因素的各个水平222)(;)(aAenMSEMSEeATeATdfdfdfSSSSSS;eAeAdfdfdfdfMSMSF21,,多重比较(multiplecomparisons)（一）为什么要进行多重比较？•F值显著或极显著，否定了无效假Ho，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异。但并不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些没有显著差异。因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。（二）概念统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较。（三）常用的多重比较方法•多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差数法(LSD法)和最小显著极差法(LSR法)。1、最小显著差数法(LSD法，Leastsignificantdifference)此法的基本原理是：在处理间F检验显著的前提下,先计算出显著水平为α的最小显著差数LSDα,然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值与其比较，作出结论。jixx最小显著差数由下式计算：式中为在F检验中误差自由度下，显著水平为α的临界t值,均数差异标准误则下式算得。其