固体物理第四章答案

1一维周期场中电子的波函数满足Bloch定理，若晶格常数为a的电子波函数为：()kx()sinkxxa()()klxfxla3()coskxxia(a)(b)(c)试求电子在这些态的波失。解：根据Bloch定理()()jkakkxaex可得：(a)()()sinsinsinjkakxaxxxaeaaa所以电子的波失为(b)3()33()coscoscosikakxaxxxaiieiaaa所以电子的波失为35,,,..........kaaa(c)()()()()ikakxafxalafxlaefxla所以电子的波失为240,,,......kaa35,,,..........kaaa若只取第一布里渊区kaa则ka若只取第一布里渊区kaaka则则若只取第一布里渊区kaa0k4.8平面正六角形晶格，六角形两个对边的间距是a,基矢为121313,2222aaiajaaiaj试画出此晶体的第一、第二、第三布里渊区。解：12aak、和构成的体积为232a＝所以倒格子原胞的基失为k取单位矢量垂直于和则212()223akbijaaji122()223kabijaa在直角坐标系下画出倒格子基矢可见倒格子原胞基矢的夹角是23xy2a2ab1b2b1+b2-b1-b2-b2-b11234.11设一维晶体晶格常数为a，系统的哈密顿量为222(),2dHVxmdx其中1()()NlVxAxla若已知孤立原子的势和波函数为2212(),,2axlaaaaaVAxlaaeEm试用紧束缚近似法求s态电子的能带公式，能带宽度，带底的有效质量。解：值计及最近邻格点的相互作用时，其能带表示为：01(),nikRsnnEkEJJeR是最近邻格矢其中积分*0*1*[()]()[()()]()()[()]()aaaaaNaNaNanNaNannJVxVdxxnaAxnaAxnaxnadxxnaAxnaxnadx根据函数的性质，上式的值为0。而积分*1*1*1[()]()[()()]()()[()]()[()]aaaaaNaNaNanNaNannxnaxnaaNaaJVxVdxxnaAxnaAxnaaxnaadxxnaAxnaxnaadxeAxnaedxAe假设x轴是水平方向，在上式积分中只取参考格点右边的最近邻，取左边的最近邻也有同样的结果。因此2cosnikRikaikaneeeka所以s态电子的能带为()2cosasEkEAeka能带宽度为(0)()4aEEAea022*2222xxakmEAaek能带底的有效质量为4.13某晶体中电子的等能面是椭球面2222123()()2yxzkkkEkmmm求能量之间的状态数EEdE解：等能面满足的方程为：2221232221222yxzkkkmEmEmE这是个椭球面，椭球的体积为：3212334223mmmE由上式可知12123342dmmmEdEEEdE能量之间的状态数为1212332322(2)ccVVdzdmmmEdE.设两维正方格子和周期势。22()(,)4coscosxyVrVxyV。a为晶格常数。求：（a）()Vr按倒格失展开的傅里叶系数()nVk(b)对近似自由电子而言，在哪些布里渊区界限上有Brayy反射？并写出相应的能隙。解：22()22122()()(4coscos)rhxyiikdrnuxyVkVreedrdyN=-U上面计算中取22(,)nk，Brayy反射出现的第一布里渊区的四个顶点处。能隙为2U。