南京理工大学,概率与统计第22-24讲.

第六章假设检验(第22至24讲)§1基本概念退出前一页后一页目录1.设某种产品的次品率为p,若规定次品率不能超过1%,现随机抽取10个产品进行检验，其中含有1个次品，可否认为这批产品合格？2.假定10岁儿童的体重服从正态分布，且标准体重为25公斤，现随机称量某市50名儿童的体重，得数据24，22，27，…。如何根据这些数据判断该市儿童体重是否达标？3.如何根据对两批产品质量指标的观察数据比较两批产品的质量?§1基本概念例1:某台包装机包得的糖重X~N(μ,σ²),当机器正常工作时,其均值为0.5kg,标准差为0.015kg.当某日随机地抽取所包装的糖9袋,称得净重为:0.497,0.506,0.518,0.524,0.498,0.511,0.520,0.515,0.512,问机器是否正常工作?第六章假设检验(第22至24讲)§1基本概念退出前一页后一页目录)1,0(~/0NnXU512.0x)(5.00kg解:检验假设第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法0100)(5.0：，：HkgH查表得96.1025.02zz)1,0(~/0NnXU检验统计量2/||zU拒绝域为计算得512.0x因025.0096.14.29/015.05.0512.0/||znxu则拒绝,即在显著性水平下认为其均值不为0.5kg,即机器工作不正常.0H05.0第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法解:检验假设第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法0100)(5.0：，：HkgH查表得)1,0(~/0NnXU检验统计量2/||zU拒绝域为计算得512.0x因005.00575.24.29/015.05.0512.0/||znxu则接受,即在显著性水平下认为其均值为0.5kg,即机器工作正常.0H01.0575.2005.02zz第六章假设检验(第22至24讲)§1基本概念退出前一页后一页目录注：(1)检验的两类错误称H0真而被拒绝的错误为第一类错误或弃真错误；称H0假而被接受的错误为第二类错误或取伪错误。记p(I)=p{拒绝H0|H0真};P(II)=p{接受H0|H0假}(2)显著性检验按照“在控制犯第一类错误的概率不超过指定值的条件下,尽量使犯第二类错误小”法则做出的检验称为“显著性检验”,称为显著性水平或检验水平。第六章假设检验(第22至24讲)§1基本概念退出前一页后一页目录显著性检验的基本步骤：(1)根据实际问题作出假设H0与H1；(2)构造统计量,在H0真时其分布已知；(3)给定显著性水平的值,参考H1,令P{拒绝H0|H0真}=,求出拒绝域W；(4)计算统计量的值,若统计量W,则拒绝H0,否则接受H0例2:某工厂生产的燃料推进器的燃烧率X(cm/s)服从正态分布N(μ,σ²),其中μ=40cm/s,σ=2cm/s.现改进方法生产了一批新的推进器,从中随机地抽取n=25只,测得燃烧率的样本均值为41.25cm/s.设新方法下总体均方差仍为2cm/s.问这批新推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著性的提高?(取显著性水平α=0.05).第六章假设检验(第22至24讲)§1基本概念退出前一页后一页目录解:检验假设0100)/(40：，：HscmH)1,0(~/0NnXU检验统计量zU拒绝域为第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法查表得645.105.0zz计算得25.41x因05.00645.1125.325/24025.41/||znxu则拒绝,即在显著性水平下认为这批推进器的燃烧率较以往生产的推进器的燃烧率有显著性提高.0H05.0§2U检验法设X~N(μ,σ²),σ²已知,对μ检验(1)提出假设第六章假设检验(第22至24讲)§2U检验法退出前一页后一页目录(2)在假设成立的条件下,检验统计量为)1,0(~/0NnXU)()(:,:)(00010000左边检验右边检验双边检验HH(3)给出显著性水平α(0α1),查表求临界值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录)()(:,:)(||2/2/左边右边临界值拒绝域双边zzUzzUzzU双边检验右边检验左边检验§2U检验法(4)计算u的值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录nxu/0(5)作出判断)()(,;,)(||002/左边右边则接受反之则拒绝若双边zuHHzuzu§2U检验法例3:设某砖厂所生产的砖的抗断强度X~N(μ,1.21).今抽取6块砖,测得抗断强度(kg/cm²)为:32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03,可否认为这批砖的平均抗断强度为32.5(kg/cm²)?(取显著性水平α=0.05).解:检验假设第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法01005.32：，：HH查表得96.1025.02zz)1,0(~/0NnXU检验统计量2/||zU拒绝域为第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法计算得13.31x因025.0096.105.36/21.15.3213.31/||znxu则拒绝,即在显著性水平下认为这批产品的平均抗断强度为32.5kg/cm2.0H05.0§2t检验法设X~N(μ,σ²),σ²未知,对μ检验(1)提出假设第六章假设检验(第22至24讲)§2t检验法退出前一页后一页目录(2)在假设成立的条件下,检验统计量为)1(~/0ntnSXt)()(:,:)(00010000左边检验右边检验双边检验HH(3)给出显著性水平α(0α1),查表求临界值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录)()1()1()()1(:,)1(:)()1()1(||2/2/左边右边临界值拒绝域双边ntnttntnttntntt双边检验右边检验左边检验§2t检验法(4)计算t的值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录nsxt/0(5)作出判断)()1()(,;,)1()()1(||002/左边右边则接受反之则拒绝若双边nttHHnttntt§2t检验法例4:据文件公布锰的熔化点为1260°C.现四次测定锰熔化点的平均值为x=1260.25°C,均方差为S=16.129°C.若测定值总体服从正态分布N(μ,σ²),试在显著性水平α=0.05下检验其测定结果是否与公布数字相符合.第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2t检验法解:检验假设01001260：，：HH)1(~/0ntnSXT检验统计量第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法因)3(1824.3031.04/129.16126025.1260/||025.00tnsxt则接受,即在显著性水平下认为测定结果是否与公布数字相符合.0H05.0查表得)1(||2/ntT拒绝域为1824.3)3()1(025.02znt例5:某电子元件的寿命X~N(μ,σ²),现测得16只元件的寿命:159,128,101,212,224,379,179,264,222,362,168,250,149,260,485,170.问是否有理由认为元件的平均寿命大于225?(α=0.05)解:检验假设H0:μ≤μ0=225,H1:μμ0第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2t检验法)1(~/0ntnSXT检验统计量)1(ntT拒绝域为第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§2U检验法因)15(7531.16685.016/7259.982255.241/05.00tnsxt则接受,即在显著性水平下认为元件的平均寿命不大于225.0H05.0查表得7531.1)15()1(05.0znt7259.98,5.241sx计算得§2χ²检验法设X~N(μ,σ²),μ未知,对σ²检验(1)提出假设第六章假设检验(第22至24讲)§3χ²检验法退出前一页后一页目录(2)在假设成立的条件下,检验统计量为)1(~)1(22022nSn)()(:,:)(20220220212020202202左边检验右边检验双边检验HH(3)给出显著性水平α(0α1),查表求临界值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录)()1()1()()1(:,)1(:)()1(),1()1(),1(2121222222/122/22/1222/2左边右边临界值拒绝域双边或nnnnnnnn双边检验§3χ²检验法(4)计算χ²的值第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录(5)作出判断)()1()(,;,)1()()1(),1(212002222/222/12左边右边则接受反之则拒绝若双边或nHHnnn2022)1(sn§3χ²检验法例6:某台自行车床加工零件的长度服从正态分布N(μ,σ²),其加工精度σ²=0.18.现采用新的加工技术,并随机地抽取了31个零件进行检验,其数据如下:零件长度:10.110.310.611.211.511.812.0频数:13710631问该车床采用新的加工技术后其加工精度是否显著提高?(α=0.05)解:检验假设H0:σ2≥σ02,H1:σ2＜σ02第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§3χ²检验法检验统计量拒绝域为计算得S2=0.2667因则拒绝H0,即在显著性水平α=0.05下认为该车床的加工精度没有显著性地提高.第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§3χ²检验法)1(~)1(2222nSn22210.95(1)(30)18.493n222(1)300.266744.518.4930.18nS第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§4U,t,F检验法§4两正态总体的假设检验设X~N(μ1,σ1²),Y~N(μ2,σ2²),且X与Y相互独立,已知(X1,X2,…,Xn),(Y1,Y2,…,Ym)分别是X,Y的样本,其均值分别为X与Y,方差分别为S1²和S2².检验(1)μ1与μ2;(2)σ1²与σ2²的是否相等.第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§4U,t,F检验法第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§4U,t,F检验法例7:设X,Y分别表示服甲,乙两种安眠药的睡眠延长时数,现有10人服甲药,8人服乙药,延长时数如下:甲:1.90.81.10.10.14.55.51.64.63.4乙:0.7-0.2-1.2-0.13.73.40.80.0若X~N(μ1,σ²),Y~N(μ2,σ²).问这两种药物的疗效有无显著性的差异?(α=0.05)解:检验假设H0:μ1=μ2,H1:μ1≠μ2第六章假设检验(第22至24讲)退出前一页后一页目录§4U,t,F检验法检验统计量拒绝域为计算得则~(16)110110wXYTtS0.025(16)2.12Tt12.36,3.95xs20.888,3.08ys222212(1)(1)93.9573.083.569216wn