南航信号与系统4章-02_连续时间系统的频域分析43-44理想低通滤波器

信号与线性系统任课教师：王旭东电话：[phone]-12510（办）Email:[e-mail]上讲回顾一般信号f(t)作用于LTI系统的响应第3页jte()jtHje1()2jtEjde1()()2jtEjHjde1()2jtEjed1()()2jtHjEjed()et1()[()()]rtHjEjF()()()RjHjEj齐次性叠加性则依卷积定理有tetrEjRjthHj()()()RjEjHj()(j)()RjHEj所以频域分析法步骤设()(),etEj()(),rtRj()(),htHj第4页1()()rtRjF零状态响应为：()0()cos,:()()()()jettHjHjeRjrt设若，求0000000012()()()()()cos()jtjjtjrtHjeeeeHjt()cos012TnnnaftAnt若0102()()()cos()nnnartHAHjnntn则对周期信号还可用傅里叶级数分析法第5页频率响应H(jω)的求法1.H(jω)=-1[h(t)]2.H(jω)=R(jω)/E(jω)(1)由微分方程求，对微分方程两边取傅里叶变换。)(1tv)(2tvRC1()Vj2()VjRCj1)()(d)(d122tvtvttvRC221RCjVjVjVj(2)由电路直接求出。第6页4.4理想低通滤波器第8页主要内容理想低通的频率特性理想低通的冲激响应理想低通的阶跃响应重点理想低通的频率特性难点理想低通的阶跃响应理想频率选择性滤波器1.频率成形滤波器（改变各分量的幅度与相位）2.频率选择性滤波器（去除某些频率分量）TheIdealFrequency-SelectiveFilters一.滤波通过系统改变信号中各频率分量的相对大小和相位，甚至完全去除某些频率分量的过程称为滤波。滤波器可分为两大类：第9页理想频率选择性滤波器的频率特性理想频率选择性滤波器的频率特性在某一个（或几个）频段内，频率响应为常数，而在其它频段内频率响应等于零。理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。滤波器允许信号完全通过的频段称为滤波器的通带（passband），完全不允许信号通过的频段称为阻带（stopband）。第10页连续时间理想频率选择性滤波器的频率特性低通cc01高通cc01带阻011122带通011122第11页第12页010jtcceHj一．理想低通的频率特性0t即：CCO)(HCCO)(●的低频段内，传输信号无失真(只有时移t0)0~在CC●为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。C10ccHjdejHthtj)(21)(012CCjtjteed0[()]CCSatt二、理想低通的单位冲激响应方法1：利用傅氏变换定义来做：第13页由对称性：2()()CCCCttSa方法2：利用傅氏变换性质来做由变换对：()()CCCCSat最后考虑时移因子，得0()[()]CChtSatt第14页第15页)(tht0tcC0Sattthcc波形t1tF第16页1．比较输入输出，可见严重失真；2．理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统几点认识当经过理想低通时，以上的频率成分都衰减为0,所以失真。tc信号频带无限宽，1t而理想低通的通频带(系统频带)有限的c~0当，，系统为全通网络，可以无失真传输。c)()(tth原因：从h(t)看，t0时已有值。…续3.信号边沿变缓——高频分量有损失。系统截止频率越高，边沿变化越陡峭。4.信号有延时——系统相频特性的影响。第17页理想低通滤波器的冲激响应与带宽的关系)(tht0tcCcccc1)(tht0tC0t)(0tt第18页第19页010()jtccehtH01jtRjej)(cc01112()()()dCCjtjtutFRjeej三．理想低通的阶跃响应001122ddccccjttjtteejdsin222100ctt0ttx令xxxttcdsin12100激励1()()et=tj系统响应()()()uttht3.最大值出现在，最小值出现在。yy第20页xxsinx1O234ySiyO221.下限为0；2.奇偶性：奇函数。正弦积分ydx0xsinx=Si(y)tOSi011()[()]2cuttt)(t阶跃响应波形第21页t()ut0t0t1．最最最大大大值值值位位位置置置：：：ct0，最小值位置：ct012rCtB2CCBfB是将角频率折合为频率的滤波器带宽（截止频率）。几点认识1trtO210trtCC2．上升时间：输出由最小值到最大值所经历的时间，：rt记作3．阶跃响应的上升时间tr与网络的截止频率B（带宽）成反比。rt1rtB第22页例：已知系统图，试画出A,B,C和D点的频谱。H1()H2()HKCC10()xt()yt()tCcostC)cos(1ABCDHKCC20()X()11A第23页解：FA()CC12AFB()CC12AKFC()C1()C114AK由卷积定理FD()142AK第24页3.在工程应用中，当要设计一个滤波器时，必须对时域特性和频域特性作出恰当的折中。1.理想滤波器是非因果系统。因而是物理不可实现的；()ht()hn2.尽管从频域滤波的角度看，理想滤波器的频率特性是最佳的。但它们的时域特性并不是最佳的。或都有起伏、旁瓣、主瓣，这表明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容。小结第25页4.5佩利—维纳准则第27页一.佩利－维纳准则就时域特性而言，一个物理可实现系统的冲激响应h(t)在t0时，必须为零。或者说h(t)波形的出现，必须是有起因的，不能在冲激作用于系统之前就产生响应。这就是所谓的“因果条件”。上述为线性时不变系统为因果系统的一个时域判据，即h(t)在t0时，必须为零。从频域上来讲，Paley和Winner证明了对于幅频特性|H(jω)|物理可实现的必要条件是2LnHjd1+而且|H(jω)|必须平方可积，即2Hjd这就是佩利－维纳准则…续若系统函数幅频特性在某一频段为零，即|H(jω)|＝0，则有|Ln|H(jω)||→∞。则不满足佩利－维纳准则，是物理不可实现的系统。显然，理想低通，高通，带通和带阻都是物理不可实现的系统。例如：理想低通滤波器0||,cHj时，违反了佩利－维纳准则，则系统不可实现。第28页21lnHjd于是不收敛ln,Hj因为第29页…续讨论一高斯函数(钟形)幅频特性的物理可实现性，即2Hej解：钟形频谱对应的时间信号也是钟形信号，即系统的冲激响应为高斯函数。则在t=–∞时信号就不为零，是非因果系统。下面讨论利用佩利－维纳准则来判断系统的因果性。241()2tfte第30页…续LnLnjddddtgtg2-2222211111111lim2limBBBBeHBB所以系统非因果。说明：若系统的幅频特性满足佩利－维纳准则，但相频特性是一斜率为正的直线，则也是非因果系统，因为响应提前。所以，佩利－维纳准则只是因果系统的必要条件。而希尔伯特变换是因果系统的充分且必要条件。二、非理想滤波器对理想特性逼近得越精确，实现时付出的代价越大，系统的复杂程度也越高。由于理想滤波器是物理不可实现的，工程应用中就必须寻找一个物理可实现的频率特性去逼近理想特性，这种物理可实现的系统就称为非理想滤波器。非理想滤波器的频率特性以容限方式给出。第31页通常将偏离单位增益的称为通带起伏（或波纹），称为阻带起伏（或波纹），称为通带边缘，为阻带边缘，为过渡带。12spsp非理想低通滤波器的容限第32页12非理想滤波器特性1.通带绝对平坦，通带内衰减为零。理想滤波器特性2.阻带绝对平坦，阻带内衰减为。通带内允许有起伏，有一定衰减范围3.无过渡带。阻带内允许有起伏，有一定衰减范围有一定的过渡带宽度第33页它们都从幅频特性出发逼近理想低通的特性。工程实际中常用的逼近方式有1.Butterworth滤波器：通带、阻带均呈单调衰减，也称通带最平伏逼近；2.Chebyshev滤波器：通带等起伏阻带单调，或通带单调阻带等起伏；3.Cauer滤波器：（椭圆函数滤波器）通带、阻带均等起伏。第34页作业•P201,4.7•P201,4.8第35页