图形在数学中的作用3

图形在数学中的作用姓名：罗艾专业班级：数学与应用数学09级本科2班学号：0411002034指导教师：樊艺中文摘要：数学研究的对象是数量关系和空间形式，“数”与“形”是事物的两个方面，华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数事难入微.”这就说明“数”与“形”有着十分密切的联系，数形结合就是根据数学问题的的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，使数量关系的精细刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起.充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易，化繁为简，从而解决问题.在数形结合的使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往是比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识，因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化.于是在这里就由“数”到“形”的转化（即图形在数学中的作用）这一方面加以学习研究。图形常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，还有就是帮助记忆数学知识。充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。英文摘要：关键词：图形记忆形象直观简化目录图形。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1图形与数的关系。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3图形对于数学记忆的作用。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5图形对于数学理解的作用。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7几种用图形解数学的例子。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9正文（含引言研究设计方法、内容、结果分析、讨论等）图形不仅是几何题目的对象，而且对任何一开始跟几何没什么关系的题目，图形也是一个重要的帮手。那么我们下面两个很好的理由来考虑图形在解题中的作用。1、如果我们的题目是一道几何题，我们就必须考虑一个图形。这个图形也许存在我们的想象中，也许画在纸上。在某些情况下，想象一下这个图而不把它画出来也许更令我们称心，但是如果我们必须一个接一个地研究各方面的细节，那么此时可取的做法就是画一张图。如果有很多细节，我们不可能想象所有的细节，但它们却能一起画在纸上。在我们想象中描绘出来的一个细节可能会被遗忘，但画在纸上的细节会保存下来，而且当我们在看这个图时，它使我们想起以前的见解，在回忆以前的考虑时，它会省去我们很多麻烦。数形结合思想由于新教材新大纲把常见的数学思想纳入基础知识的范畴，通过对数学知识的考查反映考生对数学思想和方法的理解和掌握的程度。数形结合的思想重点考查以形释数，同时考查以数解形，题型会渗透到解答题，题量会加大．数形结合常用于解方程、解不等式、求函数值域、解复数和三角问题中，充分发挥形的形象性、直观性、数的深刻性、精确性，弥补形的表面性，数的抽象性，从而起到优化解题途径的作用。例题1．关于x的方程2x2－3x－2k＝0在(－1,1)内有一个实根，则k的取值范围是什么？分析：原方程变形为2x2－3x=2k后可转化为函数y=2x2－3x。和函数y=2k的交点个数问题．解：作出函数y=2x2－3x的图像后，用y=2k去截抛物线，随着k的变化，易知2k＝－89或－1≤2k＜5时只有一个公共点．∴k=－169或－21≤k25.点拨解疑：方程（组）解的个数问题一般都是通过相应的函数图象的交点问题去解决．这是用形（交点）解决数（实根）的问题．例题2．求函数u＝tt642的最值．分析：观察得2t+4+2(6－t)＝16，若设x=42t，y=t6，则有x2+2y2=16，再令u=x+y则转化为直线与椭圆的关系问题来解决．解：令42t＝x,t6=y,则x2+2y2=16,x≥0,y≥0,再设u=x+y,由于直线与椭圆的交点随着u的变化而变化，易知，当直线与椭圆相切时截距u取得最大值，过点(0，22)时，u取得最小值22，解方程组16222yxuxy，得3x2－4ux+2u2－16=0,令△=0,解得u=±26.∴u的最大值为26，最小值为22．点拨解疑：数学观察能力要求透过现象，发现本质，挖掘题中的隐含条件．例题3．已知s=1322tt，则s的最小值为。分析：等式右边形似点到直线距离公式．解：|s|＝1|32|2tt,则|s|可看成点（0,0）到直线tx+y+2t－3=0的距离，又直线tx+y+2t－3=0变形为：(x+2)t+y－3=0后易知过定点P(－2，3)，从而原点到直线tx+y+2t－3＝0的最短距离为|OP|=13,∴－13≤s≤13.点拨解疑：由数的形式联想到数的几何意义也即形，从而以形辅数解决问题．类似地如nbxmay联想到斜率，1cxdb联想到定比分点公式，(x－a)2+(y－b)2联想到距离，|z1－z2|联想到两点间距离等．例题4．解不等式x3x－1.分析：令x3＝y，则y2＝－(x－3)(y≥0),它表示抛物线的上半支．令y＝x－1表示一条直线．作出图象求解．解：作出抛物线y2＝－(x－3)(y≥0),以及直线y＝x－1．解方程组)3(12xyxy得x=2或x=－1（舍去）,由右图可知：当x＜2时不等式x3x－1成立，所以原不等式的解集为{x|x2}.点拨解疑：一般地，形如nmxcbxax2(亦可＜)等不等式皆可用数形结合求解，更一般地可作出图象的函数或方程都可试用此法．如－3＜x1＜2等．例题5．求m=2x+94362x的值域．分析：设94362x=y，即4x2+9y2＝36（y≥0）,则求值域问题转化为求直线2x+y＝m的纵截距的范围问题．解：设94362x=y，即4x2+9y2＝36（y≥0）又令2x+y=m,则由3694222yxmxy得40x2－36mx+9m2－36=0,令△=(36m)2－160(9m2－36)=0,得m=±210,①直线y=－2x+m过A点时，x=－3,y=0,m=－6取得最小值；②当直线与椭圆上半部分相切时，m取得最大值210由①②，m的取值范围为[－6,210],值域为[－6，210］．例题6．A．B为平面上的两定点，C为平面上位于直线AB同侧的一个动点，分别以AC、BC为边，在△ABC外侧作正方形CADF、CBEG，求证：无论C点取在直线AB同侧的任何位置，DE的中点M的位置不变．分析：由于D、E随着C的变化而变化，但M为定点，故用几何方法不易说清变换思维角度，如以C点坐标为参量，证得M点坐标不随其变化而变化即可获证．证明：以AB中点为坐标原点,直线AB为实轴，建立复平面.设A、B、C对应的复数分别为－a，a，x+yi其中a、x、y∈R．则AC=ZC－ZA=(x+a)+yi,AD=AC×i=－y+(x+a)i=OAOD,∴OAADOD=－(a+y)+(a+x)i,∴D点的坐标是(－(y+a),a+x),同理E点的坐标为(y+a,a－x),据中点公式,DE中点M的坐标为（0，a），它是与AB长度有关，而与C点位置无关的点，即为定点．点拨解疑：这是用数解形的一例，可见它形象而直观，但不够深刻、精确，而数却精确细致，但它不够直观，故常以数量形，以形辅数，数形结合．例题7．设A、B、C、D是一条有向线段上的四点，且DBADCBAC=0，求证：ADAC11=AB2.分析：由于A、B、C．D顺序不定，若用几何方法分类不便，故用解析法，又A、B、C、D共线，所以只需数轴即可．证明：以四点所在直线为数轴，设A、B、C、D四点的坐标依次为0,b、c、d,∵DBADCBAC=0,∴dbdcbc=0,∴b(c+d)=2cd,∴cddc=b2,又ADAC11=cddcdc11=b2=AB2，等式成立.例题8．函数y=f(x)的图像为圆心在原点的两段圆弧，试解不等式f(x)＞f(－x)十x．分析一：由图像可得出函数关系式，由形看数．解法一：由题意及图像，有011101)(22xxxxxf，（1）当0x≤1时,f(x)f(－x)+x得21x－2)(1x+x,解得0x552;（2）当－1≤x0时,得－21x2)(1x+x,解得－1≤x－552,∴原不等式的解集为[－1,－552)∪(0,552).分析二：由图象知f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，然后再以形解数．解法二：由图象知f(x)为奇函数，∴原不等式为f(x)2x，而方程f(x)=2x的解为x=±552，据图像可知原不等式解集为[－1,－552)∪(0,552).点拨解疑：本题以形看数（解析式，奇偶性），以数解形（曲线交点A、B）最后以形解数（不等式），这才是真正意义上的数形结合，扬长避短．参考文献：致谢：