圆锥曲线与方程习题与答案

1圆锥曲线与方程练习题及答案一、选择题【共12道小题】1、以的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为（）A.B.C.D.2、与(ab0)的渐近线（）A.重合B.不重合,但关于x轴对称C.不重合,但关于y轴对称D.不重合,但关于直线y=x对称3、抛物线x2=4y上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为（）A.2B.3C.4D.54、已知定点A、B，且|AB|=4，动点P满足|PA|-|PB|=3，则|PA|的最小值是（）A.B.C.D.55、过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,那么|AB|等于…（）A.10B.8C.6D.46、设F1和F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2=90°，则△F1PF2的面积是（）A.1B.C.2D.57、动圆的圆心在抛物线y2=8x上,且动圆恒与直线x+2=0相切,则动圆必过点（）A.(4,0)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)8、若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）A.-2B.2C.-4D.49、过双曲线M：的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线M的离心率是（）2A.B.C.D.10、探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口的直径为60cm，灯深40cm，则抛物线的标准方程可能是（）A.y2=B.y2=C.x2=D.x2=11、已知两点M（-2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足,则动点P（x，y）的轨迹方程为（）A.y2=8xB.y2=-8xC.y2=4xD.y2=-4x参考答案与解析:解：依题意可设P（x,y）,则4+(4,0)·(x-2,y)=04+4(x-2)=0化简整理得，y2=-8x.答案：B主要考察知识点:抛物线12、抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的距离的最小值是（）A.B.C.D.3参考答案与解析:解：设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点，∴y0=-x02,∴d=,∴dmin=.答案：A主要考察知识点:抛物线二、填空题【共4道小题】1、双曲线的渐近线方程为y=±，则双曲线的离心率为.3参考答案与解析:解析：∵双曲线的渐近线方程为y=±,∴或.当时,,即,;当时,,即=,.答案：或主要考察知识点:双曲线2、抛物线y=的焦点坐标是.参考答案与解析:解析：y=x2=4y,p=2,其焦点为（0，1）.答案：（0，1）.主要考察知识点:抛物线3、点P（8，1）平分双曲线x2-4y2=4的一条弦，则这条弦所在直线方程是.参考答案与解析:解析：设弦的两端点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x12-4y12=4,x22-4y22=4.两式相减得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0.∵AB的中点为P(8,1),∴x1+x2=16,y1+y2=2.∴.∴直线AB的方程为y-1=2(x-8),即2x-y-15=0.答案：2x-y-15=0主要考察知识点:双曲线4、有一系列中心在原点，以坐标轴为对称的椭圆，它们的离心率en=()n(n∈N)，且都以x=1为准线，则所有椭圆的长轴之和为.参考答案与解析:解析：因,=()n,故an=()n,2an=2·()n,故所有椭圆的长轴之和为.答案：2主要考察知识点:椭圆三、解答题【共6道小题】1、已知直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于点A、B，求证：OA⊥OB.参考答案与解析:证法一:将y=x-2代入y2=2x中,得(x-2)2=2x,化简得x2-6x+4=0,∴x=.∴x=时,y=,x=时,y=.∴kOA·kOB=×.4∴OA⊥OB.证法二:同证法一得方程x2-6x+4=0.∴x1+x2=6,x1·x2=4.∴y1·y2=(x1-2)(x2-2)=x1·x2-2(x1+x2)+4=-4.∴kOA·kOB=.∴OA⊥OB.主要考察知识点:抛物线2、A、B为椭圆(a0)上的两点，F2为右焦点，若|AF2|+|BF2|，且A、B的中点P到右准线的距离为，求该椭圆的方程.参考答案与解析:解析：设A、B、P三点到椭圆右准线的距离分别为d1、d2、d，则由椭圆的第二定义及几何性质得|AF2|=ed1=,|BF2|=,d=.又2d=d1+d2,∴5a-3=2d.又=|AF2|+|BF2|=(d1+d2),∴d1+d2=2a,∴5a-3=2a,∴a=1,∴该椭圆的方程为.主要考察知识点:椭圆3、已知双曲线与点P(1,2),过P点作直线l与双曲线交于A,B两点,若P为AB的中点.(1)求直线AB的方程;(2)若Q(1,1),证明不存在以Q为中点的弦.参考答案与解析:（1）解：设过点P(1,2)的直线AB的方程为y-2=k(x-1),代入双曲线方程并整理得(2-k2)x2+(2k2-4k)x-(k2-4k+6)=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1+x2=.由已知,∴,解得k=1.又k=1时,Δ=(2k2-4k)2+4(2-k2)(k2-4k+6)=160,从而直线AB的方程为x-y+1=0.(2)证明:设过Q(1,1)点的直线方程为y-1=k(x-1),代入双曲线方程并整理,得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(k2-2k+3)=0.5由题知,解得k=2.而当k=2时,Δ=［-2k(1-k)］2+4(2-k2)(k2-2k+3)=-620.∴这样的直线不存在.主要考察知识点:双曲线4、已知倾角为45°的直线l过点A（1，-2）和点B，其中B在第一象限，且|AB|=.（1）求点B的坐标；（2）若直线l与双曲线C：(a0)相交于不同的两点E、F，且线段EF的中点坐标为（-4，1），求实数a的值.参考答案与解析:解：（1）直线AB方程为y=x-3,设点B（x,y）,由及x0,y0,得x=4,y=1,∴点B的坐标为（4，1）.(2)由得（）x2+6x-10=0.设E（x1,y1）,F(x2,y2)，则x1+x2==-4,得a=2,此时，Δ0,∴a=2.主要考察知识点:双曲线5、过抛物线y2=4x的准线与对称轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的倾斜角多大时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点？参考答案与解析:解：抛物线ｙ2＝４ｘ的准线与对称轴的交点为（-1，0）设直线MN的方程为y＝k（ｘ＋1）.由得k2x2＋2（k2－2）x＋k2＝０.∵直线与抛物线交于M、N两点,∴Δ＝4（k2－2）2－4k4＞０,即k2＜|k2－2|，k2＜1，－1＜ｋ＜1.设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F(1，0)∵以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点,∴MF⊥NF.∴·＝－１,即ｙ1ｙ2＋ｘ1ｘ2－（ｘ1＋ｘ2）＋1＝0.∴k=±,即直线的倾斜角为arctan或π-arctan时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.6主要考察知识点:抛物线6、已知两定点F1（-，0），F2（，0），满足条件的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点.（1）求k的取值范围；（2）如果|AB|=，且曲线E上存在点C，使，求m的值和△ABC的面积S.参考答案与解析:解：（1）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1（，0）、F2（，0）为焦点的双曲线的左支，且c=,a=1,易知b=1.故曲线E的方程为x2-y2=1(x0）.设A（x1,y1）,B(x2,y2),由题意建立方程组消去y,得(1-k2)x2+2kx-2=0.又已知直线与双曲线左支交于A、B两点，有解得-k-1.(2)因为|AB|=|x1-x2|=·=·=.依题意得=.整理后得28k4-55k2+25=0.∴k2=或k2=.但k-1,∴k=-.故直线AB的方程为.设C（xc,yc）,由已知,得(x1,y1)+(x2,y2)=(mxc,myc),∴(xc,yc)=(,)(m≠0).7又x1+x2==,y1+y2=k(x1+x2)-2===8,∴点C(,).将点C的坐标代入曲线E的方程，得-=1.得m=±4.但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意.∴m=4,C点坐标为（-，2）.C到AB的距离为.∴△ABC的面积S=××=.