圆锥曲线中心到焦点弦的张角新课标人教版

用心爱心专心118号编辑1圆锥曲线中心到焦点弦的张角浙江省宁波市北仑中学（315800）吴文尧文[1]给出了椭圆、双曲线中心到焦点弦的张角为直角存在的充要条件；笔者阅后颇受启发.本文介绍有关更一般的结论,即给出椭圆、双曲线的中心到焦点弦的张角及抛物线的顶点到焦点弦的张角的取值范围；由此不难得到圆锥曲线的中心到焦点弦的张角为一个任意给定角存在的充要条件.本文约定：如果过圆锥曲线焦点的直线与该圆锥曲线相交于两点，那么这两个交点间的线段就叫做圆锥曲线的焦点弦；垂直于圆锥曲线的对称轴的焦点弦叫做圆锥曲线的通径；两个端点在双曲线的同一支上的双曲线的焦点弦叫做双曲线的同支焦点弦，两个端点不在双曲线的同一支上的双曲线的焦点弦叫做双曲线的异支焦点弦；对于点P和线段AB，∠APB叫做点P到线段AB的张角.预备定理：过点0,cF的直线ctyxl:交圆锥曲线:122nymx于2211,,,yxByxA两点,且21yy,O为坐标原点,直线OB到直线OA的角为；则222222121cotmcnmtctnmcnmtnmt。证明：把直线方程ctyxl:代入曲线方程122nymx可得012222mtmctyynmt所以nmtmctyy2212，nmtmcyy22211因此21212121yyctyctyyyxx2212121cyyctyytnmttcnm2221212212214yyyyyy2222144nmtmcnmt所以nmtmcnmtcyycyyc222212112于是2112211221yycctyyctyyxyxy所以OBOAOBOAKKKK1cot12212121xyxyyyxx212121yycyyxx用心爱心专心118号编辑2222222121mcnmtctnmcnmtnmt定理1：设椭圆012222babyax的中心0到椭圆的通径的张角为0（其中acb20arctan2），则椭圆中心O到椭圆的焦点弦的张角的取值范围为,0.证明:(如图)不妨设椭圆的焦点弦AB过右焦点F0,c,2211,,,yxByxA直线AB的方程为:ctyx,令ma21,nb21则0mn且nmc112,由预备定理可知:1121cot222ttnmcmc,令12tu则,1u，而02nmc所以uumncmcuf221cot是,1上的减函数；故1u即0t时1211cot2maxnmcmcf24222acbbca0cot即AB为椭圆的通径时，取最大值acb2arctan2。当u时cot，AB和长轴重合时，∠AOB=所以的取值范围为,0。推论1：设AB为椭圆012222babyax的焦点弦，且中心O对AB的张角为2.则:①acb2即2150e时：20满足条件的焦点弦AB不存在；②acb2即215e时：20满足条件的焦点弦AB有且仅有二条，用心爱心专心118号编辑3(AB恰为椭圆的两条通径)此时abAB22；③acb2即1215e时：20满足条件的焦点弦AB有且仅有四条.此时222222babaaAB。定理2：设双曲线0,012222babyax的中心0到双曲线的通径张角为0（其中acb20arctan2），双曲线中心0到双曲线的同支焦点弦的张角记为.则：①22215ab时：的取值范围为022,22cotabbaarc，②022215ab时：（ⅰ）abbaarc22cot220时：0cotarc12ba（ⅱ）abbaarc22cot220时：abbaarc22cot22cotarc12ba证明：（如图）不妨设双曲线的焦点弦AB过右焦点F0,c,2211,,,yxByxA直线AB的方程为:ctyx,令ma21,nb21则nmbac11222,因AB和双曲线的右支相交于两点,故abkt1，01222bat即02nmt由预备定理可知:1121cot222ttnmcmc,令12tu，则由2220bat可得bcu,1。用心爱心专心118号编辑4所以uumncmcuf221cotubaabcuca1222222。（其中bcu1）①22ab时：uf是区间bc,1上的增函数，bcffcot1即0cot24222acbbcaabba22cot22所以的取值范围为022,22cotabbaarc②22ab时：由222222babacu1解得222215aba（A）222215aba时：uf仍是区间bc,1上的增函数，同理可得的取值范围为022,22cotabbaarc；（B）222150ab时：abbacu22时uf取最小值12ba此时的最大值为cotarc12ba（ⅰ）abbaarc22cot220时：0cotarc12ba（ⅱ）abbaarc22cot220时：abbaarc22cot22cotarc12ba。推论2：设AB为双曲线0,012222babyax的同支焦点弦，且双曲的中心O对AB的张角为2.则:用心爱心专心118号编辑5①当acb2或222ab，即2151e或3e时：满足条件的焦点弦AB不存在；②当acb2即215e时：20满足条件的焦点弦AB有且仅有两条(AB恰为双曲线的两条通径)此时abAB22；③当acb2且222ba即3215e时：满足条件的焦弦AB有且仅有四条.此时222222baabaAB。定理3：设双曲线0,012222babyax的中心0到双曲线的异支焦弦的张角为；则的取值范围为ababarc22cot22。证明：（如图）不妨设双曲线的焦点弦AB过右焦点F0,c,2211,,,yxByxA直线AB的方程为:ctyx,令ma21,nb21；则nmbac11222,因AB和双曲线的左、右支各有一个交点，故abkt1，所以01222bat即02nmt，由预备定理可知:1121cot222ttnmcmc,令12tu，则由222bat可得,bcu所以uumncmcuf221cotubaabcuca1222222（其中bcu）用心爱心专心118号编辑6①ab时：ufubaabcuca1222222是,bc上的减函数.②ab时:因为22222221bcabbcu恒成立；所以ufubaabcuca1222222仍然是,bc上的减函数.由①②可知uf的值域为bcf,即abab22,22，当AB和实轴重合时：.所以的取值范围为ababarc22cot22.推论3：设AB为双曲线0,012222babyax的异支焦点弦，且双曲线的中心O对AB的张角为2.则:①当222ab即31e时：满足条件的焦点弦AB不存在.②当222ab即3e时:满足条件的焦弦AB有且仅有四条.此时222222ababaAB。定理4：抛物线的顶点到抛物线的焦点弦的张角的取值范围为:34arctan,2。证明：设抛物线的方程为pxy220p，则其焦点为F0,2p，设抛物线的焦点弦AB的方程为：2ptyx2211,,,yxByxA；∠AOB=21yy把AB的方程：2ptyx代入抛物线的方程pxy220p得0222pptyy所以ptyy221221pyy用心爱心专心118号编辑7所以212212214yyyyyy=1422tp于是2112211221222yypptyyptyyxyxy122tp2121212122yyptyptyyyxx=421221212pyytpyyt=243p所以OBOAOBOAKKKK1cot12212121xyxyyyxx1432t因此0t即AB为抛物线的通径时：mincot=43，所以cot的取值范围为0,43;故的取值范围为34arctan,2.参考文献1：贺德光双曲线中心到焦点弦的张角为直角的条件.中学数学研究(江西师大).2004年第3期.