大一高数复习资料

上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究1第一章复习x.1函数的极限及其连续性概念：省略注意事项1．无界变量与无穷大的区别：无穷大量一定是无界变量，但无界变量不一定是无穷大量，例如，xxxfysin)(是无界变量，但不是无穷大量。因为取22nxxn时，22)(nxfn，当n充分大时，)(nxf可以大于一预先给定的正数M；取nxxn2时，0)(nxf2．记住常用的等价形式当0x时，,~arctan,~tan,~arcsin,~sinxxxxxxxxxxxxxexxx~1)1(,21~cos1,~1,~)1ln(2例1当0x时，下列函数哪一个是其他三个的高阶无穷小（1）2x。（2）xcos1。（3）xxtansin（4）)1ln(2x。（）解：因为222~)1ln(,21~cos1xxxx，所以选择C练习xxexxcoslncoslim20解)]1(cos1ln[cos11limcoslncoslim2200xxexxexxxx31coscos1lim1coslim)]1(cos1ln[cos1lim)]1(cos1ln[1lim020002xxxxxxxexxxxx3．若函数的表达式中包含有ba（或ba），则在运算前通常要在分子分母乘以其共轭根式ba（或ba），反之亦然，然后再做有关分析运算例2求)1sin(lim2nn。解])1sin[(lim)1sin(lim22nnnnnn上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究2nnnnnnnn1sin)1(lim)1sin()1(lim22当n时，)(,01~1sin22nnnnn又1|)1(|n，故0)1sin(lim2nn练习求])1(2121[limnnn解原式＝22)1()1(221lim2)1(2)1(limnnnnnnnnnnn4．exxx11lim该极限的特点：与幂互为倒数后的变量（包括符号））括号中（型未定式121)1(解题方法（1）若极限呈1型，但第二个特点不具备，则通常凑指数幂使（2）成立（2）凡是1型未定式，其结果：底必定是e，幂可这样确定：设0)(limxu，)(limxv，则)()(lim)]()[(lim))(1ln()(lim))(1ln()()(lim))(1lim(xuxvxuxvxuxvxuxvxveeeexu这是因为)(~))(1ln(xuxu。例3求xxxx1sin1coslim。解原式＝2222sin1lim1sin1coslimxxxxxxx因为122sinlim22sinlimxxxxxx，所以原极限＝e。练习求xnxxxxneee120lim。上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究3解原式＝xnxxxxnneee1201lim，因为21)21(11lim1lim1lim1)1()1()1(lim11lim02002020nnnxexexenxeeenxnneeenxxxxxxnxxxxnxxxx5．几个常用的极限1)0(limnn特别地1limnnn2arctanlim2arctanlimxxxxxarcxarcxxcotlim0cotlimxxxxeelim0lim1lim0xxxx.2单调有界原理单调有界数列必有极限此类问题的解题程序：（1）直接对通项进行分析或用数学归纳法验证数列}{nx单调有界；（2）设}{nx的极限存在，记为lxnnlim代入给定的nx的表达式中，则该式变为l的代数方程，解之即得该数列的极限。例4已知数列}{na：,11,,11,1111121nnnaaaaaaa，求nnalim。解用数学归纳法可证得}{na单调增加：2311,11121aaaa，显然21aa。假设kkaa1成立，于是0)1)(1(111111111kkkkkkkkkkaaaaaaaaaa即1kkaa成立。显然21na，从而数列}{na有极限，不妨设Aannlim。上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究4由于1111nnnaaa，两遍去极限得：AAA11，即012AA，即得出251A。根据包号性的推论可知A非负，所以251limnna。X.3n项和的极限求解方法:(1)利用特殊和式求和；（2）利用夹逼定理求极限（n个项按递增或递减排列）；例5求)1(1321211limnnn解原式1111lim1113121211limnnnnn例6求)12111(lim222nnnnn。解因为11211122222nnnnnnnnn，而11limlim22nnnnnnn，由夹逼准则有)1(1321211limnnn＝1X.4n项积的极限（1）分子、分母同乘以一个因子，使之出现连锁反应；（2）把通项拆开，使各项相乘过程中中间项相消；（3）夹逼定理（4）利用对数恒等式化为n项和形式。例7当1||x时，求)1()1)(1)(1(lim242nxxxxn解原式＝xxxxxxnn1)1()1)(1)(1)(1(lim242上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究5＝xxxxxnn1)1()1)(1)(1(lim2422＝xxxxnn1)1()1)(1(lim244＝xxxxxxnnnnn1111lim1)1)(1(lim1222练习当0x时，求nnxxx2cos4cos2coslim解原极限＝nnnnnnxxxxx2sin22cos4cos2cos2sin2lim＝xxxxxxxxxxxxxxxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnsin22sinlim2sin2sinlim2sin2)2sin2cos2(4cos2cos2lim2sin2)2sin2cos2(4cos2cos2lim1121例8求22211311211limnn。解因为kkkkkkkk11)1)(1(112222211311211limnnnnnnn1134322321lim21121limnnnX.5有关闭区间上连续函数的命题的证明证明方法有两种1．直接法其程序是先利用最值定理，再利用介值定理上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究6例1设)(xf在],[ba上连续，且bdca，证明：在),(ba内至少存在一个使得)()()()(fqpdqfcpf，其中qp,为任意正常数证因为)(xf在],[ba上连续所以)(xf在],[ba上有最大值M与最小值m由于],[,badc，且0.qp，于是有qMdqfqmpMcpfpm)()(从而Mqpdqfcpfmqp)()()()(即Mqpdqfcpfm)()(。由介值定理，在],[ba上至少存在一个，使得)()()(fqpdqfcpf2．间接法（己辅助函数法）其程序是先作辅助函数)(xF，验证)(xF满足玲芝定理条件，然后由零值定理得出命题的证明。辅助函数)(xF的作法：（1）把结论中的（或0x）该写成x；（2）移项，使等式右边为零，令左边的式子为)(xF，此即为所求的辅助函数例2设)(xf在]2,0[a上连续，且)2()0(aff，证明：在],0[a上至少存在一个，使得)()(aff。证令)()()(xfaxfxF显然，)(xF在],0[a上连续，注意到)2()0(aff，故)()0()()2()(),0()()0(affafafaFfafF上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究7当0)0()(faf时，可取为a或0，而当0)0()(faf时，有0)]0()([)()0(2fafaFF由零值定理可知存在一个),0(a，使得0)(F，即)()(affX.6极限的求法1．约简分式的方法求极限srqpxxsrqpx,,,(11lim//1都是正整数）2．有理化分子和分母求极限)11(lim22xxxxx3．利用自然数求和求极限14135115131lim2nn4．利用基本极限1sinlim0xxx求极限xxxxxcos13cos2coscos1lim05．利用基本极限exxxxxx)11(lim)1(lim10求极限xxx2tan4)(tanlim6．利用单调有界数列必有极限求数列层根号nnx111的极限习题课一例1试用极限的“N”定义证明：21321lim22nnnn。证0，要使||axn，只要上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究8)32(23)32(223)32(2|32|21321||22222nnnnnnnnnnnnaxnnnn143)32(23，即1n。因此0，可取1N，那么对一切Nn，恒有2132122nnn即21321lim22nnnn。例2设2sin)11(nnxn，证明数列}{nx没有极限。证如果数列}{nx有极限，那么它的任何子列都有相同的极限。因此，若能找出}{nx的两个具有不同极限的子数列，便知}{nx没有极限。由于0lim,0)sin()211(2244kkkxkkx；1lim,14112)14(sin)141122)14(14(kkkxkkkx（），因此数列}{nx没有极限。例3用“”定义证明：021lim1xxx。证先限制21|1|0x，此时有||1|1||1)1(|||xxx21|1|1x，或1||2x，从而|1|||2|1||021xxxxx，因此，0，要使0||21xx，只要|1|x，于是取},21min{，则当x适合不等式|1|0x时，对应函数值xxxf21)(恒满足不等式0||21xx所以021lim1xxx。例4设0)1(lim2baxxxx，试确定常数a和b。解上海海事大学学生联合会激情活力精彩学联版权所有违者必究9左式baxxxbxabxabaxxxbabxxaxxxx11)21()1(lim121lim222222222xbaxxxbabxax2221111)21()