第二章角平分线四大模型

个人资料整理，仅供个人学习使用1/5NMOABP2图4321ACPBDABC图1ABDCABDCPPONMBA第二章角平分线四大模型模型1角平分线上的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B。结论：PB=PA。模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖賃軔。模型实例（1）如图①，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；聞創沟燴鐺險爱氇谴净祸測。（2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。求证：AP平分∠BAC。热搜精练1．如图，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠BAD+∠BCD=180°。2．如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=。模型2截取构造对称全等如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB=OA，连接PB。结论：△OPB≌△OPA。模型分析个人资料整理，仅供个人学习使用2/5图2DPABCDC1图PBAABCDABCDEDCBAPONMBA利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟婭骒。模型实例（1）如图①所示，在△ABC中，AD是△ABC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由；酽锕极額閉镇桧猪訣锥顧荭。（2）如图②所示，AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。热搜精练1．已知，在△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8。求线段BC的长。2．已知，在△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC。求证：BC=AB+CD。3．如图所示，在△ABC中，∠A=100°，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，DE=AD。求证：BC=AB+CE。彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑诒尔。模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠MO的平分线上一点，AP⊥OP于P点，延长AP于点B。结论：△AOB是等腰三角形。模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线个人资料整理，仅供个人学习使用3/5EDCBA21EDCBAEDCBA合一联系了起来。謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔點鉍。1.如图，已知等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E。求证：BD=2CE。2．如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D。求证：∠2=∠1+∠C。3．如图，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是的平分线，BE⊥AD于点E。∠BAC求证：BE=12（AC-AB）。4.（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。求证：(1)AB+AC+BC=MN（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。上述结论是否成立？成立请说明理由，若不成立，那MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。厦礴恳蹒骈時盡继價骚卺癩。（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。MN与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并进行证明。茕桢广鳓鯡选块网羈泪镀齐。个人资料整理，仅供个人学习使用4/5QPONMFAEBCD2图AEBDFC1图FGE图3DCNMBAAEBCNM模型4角平分线+平行线如图，P是∠MO的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，交OM于点Q。结论：△POQ是等腰三角形。模型分析有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴縈诘。模型实例解答下列问题：（1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系；籟丛妈羥为贍偾蛏练淨槠挞。（2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴買闥。（3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦鋇絨。热搜精练如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，过点E作EF∥BC，交AB于点M，交AC于点N。若BM+CN=9，则线段MN的长为。个人资料整理，仅供个人学习使用5/5FDAEBCDAEBC2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E、F分别在BD、AD上，EF∥AB，且DE=CD。求证：EF=AC。如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在CD上，且AE平分∠BAD，BE平分∠ABC。求证：AD=AB-BC。铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡缝勵。