华理概率论习题5答案

华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第十三次作业一．填空题：1．已知二维随机变量),(的联合概率分布为010120.10.150.250.20.150.15则_______,),max(_______,)(2sin____,______,EEEE_______),max(D。2.设随机变量321,,相互独立，1~)6,0(U，2~)4,0(N，3~)3(E，则：)32(321E=____4___，)32(321D=__20_。二．选择题：设),N(10~，)4,0(~N，，下列说法正确的是（B）。A.)5,0(~NB.0EC.5DD.3D05.15.025.02.136.0三．计算题：1.设二维随机变量),(的联合概率密度函数为其他020,20)(81),(yxyxyxp求)(,,EEE。解：EyyxxxyxyxxpED67d)(d81dd),(202034d)(d81dd),()(2020yyxxyxyxyxxypED2.二维随机变量),(服从以点(0,1)，(1,0)，(1,1)为顶点的三角形区域上的均匀分布，试求)(E和)(D。解:),(～2,(,),(,)0,(,),xyGpxyxyG11014()2()3yEdyxydx,11220111()2()6yEdyxydx,2211161()()[()]6918DEE3.有10个人同乘一辆长途汽车，沿途有20个车站，每到一个车站时，如果没有人下车，则不停车。设每位乘客在各站下车是等可能的，且各乘客是否下车是相互独立的，求停车次数的数学期望。解：设1,,0,,iii第站有人下车第站没人下车则PPi}0{{10个人在第i站都不下车}102011，从而1020111}1{iP于是1020111}1{1}0{0iiiPPE,长途汽车停车次数2021，故1020212019120EEEE第十四次作业一．填空题：1．已知9,4DD，则当12)(D时，____；当4.0时，_______)(D。2.设二维随机变量)5.0;4,1;4,1(~),(N，，则),cov(.二.选择题：1.已知随机变量X与Y独立同分布，记YXU，YXV，则U与V必（D）A.独立B.不独立C.相关D.不相关2.设随机变量与的方差存在且不等于0，则DDD)(是与（C）A.独立的充要条件B.独立的充分条件，但不是必要条件C.不相关的充要条件D.不相关的充分条件，但不是必要条件1218.172三.计算题：1.已知二维随机变量),(的联合概率分布为012313083830810081(1)求；(2)与是否独立？说明理由。解:(1)边际分布13()Pi34140123()Pj18383818于是,31313442E,13313012388882E,再由联合分布得33191112338884E,从而933cov(,)0422,故0(2)由于3(1)(0)32PP,而(1,0)0P,故,不独立.2.设二维随机变量),(的联合概率密度函数为其他0103),(xyxyxp求与的相关系数。解:先分别求出11203310yEdyxydx,1120334yEdyxdx,110338yEdyxydx,11230335yEdyxdx,11220135yEdyxydx,3333cov(,)1048160,23335480D,2131958320D,故cov(,)31603()()3801932057DD.3.设二维随机变量),(YX的相关系数为XY，而dcYbaX,，其中dcba,,,为常量，并且已知0ac，试证XY。证明：XYDYDXacYXacdcYDbaXDdcYbaX),cov()()(),cov(4.设两个随机变量,，5.0,9,4,4,2DDEE，求)323(22E。解683)(),cov(2)(33)()(2)(3)323(222222EDEEEDEEEE＝第十四次作业一.选择题：1.设随机变量密度函数为()px，则31的密度函数()py为（A）。A、11()33ypB、13()3ypC、1(3(1))3pyD、13()3yp2.设随机变量和相互独立，其分布函数分别为)(xF与)(yF，则),max(＝的分布函数)(zF等于（B）A．)}(),(max{zFzFB.)()(zFzFC．)]()([21zFzFD.)()()()(zFzFzFzF二.计算题1.已知随机变量]2,0[~U，求2的概率密度。解:000)()(000}{}{)(2yyyFyFyyyyPyPyF故000)()(21)(yyypypyyp＝其他04041yy2.设、是两个相互独立且均服从正态分布21,0N的随机变量，求|)(|E。解:由已知条件可得：)1,0(~N，所以2e22de22de21|||)(|02202222xxxxxxxE3.已知随机变量、的概率分布分别为412141}{101ixP2121}{10jyP而且1}0{P。(1)求、的联合概率分布；(2)问、是否独立？(3)求),max(的概率分布。解:由于(0)1P,可以得到(1,1)(1,1)0PP,从而1(0,1)(1)2PP,1(1,0)(1)4PP,1(1,0)(1)4PP,(0,0)(0)(0,1)0PPP,汇总到联合分布列,即01－114000121140(2)由于(,)()()PijPiPj,故,不独立.(3)1(0)(1,0)(0,0)4PPP,3(1)(1,1)(0,1)(1,0)(1,1)4PPPPP4．设随机变量、相互独立，其密度函数分别为000)(,0101)(yyeypxxpy其他求的概率密度函数。解:由,相互独立得联合密度函数为,01,0,(,)0,,yexypxy其他密度函数中非零部分对应的(,)xy落在区域D中,利用卷积公式,当1z时,1()0()(1)zxzpzedxee,当01z时,()0()1zzxzpzedxe,当0z时,()0pz,故(1),1,()1,01,0,0.zzeezpzezz5.电子仪器由4个相互独立的部件)4,3,2,1(iLi组成，连接方式如图所示。设各个部件的使用寿命i服从指数分布)1(E，求仪器使用寿命的概率密度。1L3L2L4L解:设各并联组的使用寿命为)2,1(jj，则},max{},,max{},,min{43221121由i独立同分布知21,也独立同分布。现000e1)(xxxFx所以000)e1()()(22yyyFyFy从而000)e2(e1000)e1(11)(11)(22222zzzzzFzFzzz000)e2)(e1(e4)(2zzzpzzz。