华理概率论习题7答案

华东理工大学概率论与数理统计作业簿（第五册）学院____________专业____________班级____________学号____________姓名____________任课教师____________第十九次作业一．填空题：1．在一批垫圈中随机抽取10个，测得它们的厚度(单位:mm)如下:1.23，1.24，1.26，1.29，1.20，1.32，1.23，1.23，1.29，1.28用矩估计法得到这批垫圈的数学期望的估计值ˆ=__257.1x____，标准差的估计值ˆ=___037.01ns__。二．计算题：1．设总体X服从泊松分布)(P，)(21nXXX，，，为样本，分别用矩估计法和极大似然法求参数的估计量ˆ。解：矩估计法，因为)(~PX，所以总体平均值EX，而样本平均值niiXnX11，所以niiXnX11ˆ；极大似然法，设),(21nXXX，，的一组观测值为),(21nxxx，，，似然函数niixXPL1)()(exniixi1!niixnxei1!,取对数,得niiixxnL1)!lnln()(ln,令01)(ln1niixndLd,解得：xxnnii11ˆ,故的极大似然估计量为：Xˆ。2．设总体服从几何分布),2,1()1()(1xppxXPx，),,,(21nXXX为X的样本。(1)求未知参数p的矩法估计；(2)求未知参数p的极大似然估计。解:(1)由于()Gep,因此1Ep,由矩法原则可知EX,故1ˆpX.(2)设样本12(,,,)nXXX的一组观测值为12(,,,)nxxx,由于总体为离散型,因此似然函数11()()(1)niinxnniiiLpPXxpp,取对数,得1ln()lnln(1)niiLpnpxnp,上式两端关于p求导,令1ln()01niixndLpndppp,解上式,得111ˆ01XpppX。3．设总体总体X的密度函数为其他,010,)1()(xxxf，其中1是未知参数,),(21nXXX，，是来自总体的样本，分别用矩估计法和极大似然法求的估计量。解：总体X的数学期望为21)1()(1dxxdxxxfEX,设niiXnX11为样本均值,则应有：21X,解得的矩法估计量为:XX112ˆ；设),(21nxxx，，是样本),(21nXXX，，的观察值,则似然函数为：niixfL1)()(niinx11其他,0,,2,1,10,)()1(21nixxxxinn,当),2,1(10nnixi时,,0)(L,ln)1ln()(ln1niixnL令0ln1)(ln1niixndLd,解得的极大似然估计值：niixn1ln1ˆ,故的极大似然估计量为：niiXn1ln1ˆ。第二十次作业一．选择题：1．设总体X的数学期望为，),,,(21nXXX是取自总体的样本，则下列命题中正确的是(A)A.1X是的无偏估计量；B.1X是的极大似然估计量；C.1X是的一致(相合)估计量；D.1X不是估计量。2．设),,,(21nXXX为总体),(~2NX(已知)的一个样本,X为样本均值,则总体方差2的下列估计量中,为无偏估计量的是(C).A.21)(1niiXXn;B.211)(11niiXXn;C.21)(1niiXn;D.21)(11niiXn;二．计算证明题：1．设总体)1,(~N，),,(321XXX是的样本，（1）证明：3211414121XXX3212313131XXX3213515252XXX都是的无偏估计。（2）1，2，3这三个估计中，哪一个估计最有效？证明：(1)112312321231233123123111111111ˆ,244244244111111111ˆ,333333333221221221ˆ,555555555EEXXXEXEXEXEEXXXEXEXEXEEXXXEXEXEX所以,123ˆˆˆ,,都是的无偏估计.(2)由于样本12,,,nXXX独立同分布,那么1123123212312331231231111113ˆ,2444161681111111ˆ,33399932214419ˆ,55525252525DDXXXDXDXDXDDXXXDXDXDXDDXXXDXDXDX可知132ˆˆˆDDD,故2ˆ最有效.2．设从均值为，方差为02的总体中，分别抽取容量为1n和2n的两个独立样本，1X和2X分布是这两个样本的均值，试证：对于任意常数)1(baba、，21XbXaY都是的无偏估计，并确定常数ba、，使得DY达到最小。证明：因为1212()()EYEaXbXaEXbEXab,故对于任意常数,(1)abab,12YaXbX都是的无偏估计.由于两个样本独立,因此12,XX相互独立,那么由定理6.2.1,可知222221212()abDYEaXbXnn,将1ba代入,得22222212111212()2(1)nnananaaDYnnnn,求其最小值,22212111211121212()22()20nnanannnannannnnnn,2121nbann,即当121212,nnabnnnn时,DY最小。3．设随机变量X服从区间)1,(上的均匀分布,其中为未知参数,nXXX,,,21是来自于X的一个样本,X是样本均值,},,,min{21)1(nXXXX.证明:(1)21ˆ1X和11ˆ)1(2nX都是无偏估计量(1n).(2)比较1ˆ和2ˆ哪个更有效?证明：(1)因为X服从区间)1,(上的均匀分布,所以212EXEXi，2121221212121)(1)21(ˆ111niniinXEnXEE，所以21ˆ1X是无偏估计量.再证2ˆ是无偏估计量,先求)1(X的概率分布,X的分布函数1,11,,0}{)(xxxxxXPxF，X的密度函数其它,01,1)()(xxFxp，nXXX,,,21与X独立且同分布,故)1(X的分布函数为：nxFxXPxF)](1[1}{)()1()1(，)()](1[)()(1)1()1(xpxFnxFxfn其它,01,)1(1xxnn，于是,11)1()1()1()(dxxnxdxxxfEXn11)1()1()1)(1(1111ndxxndxxxnnn，1111)11(ˆ)1(2nnnXEE，所以11ˆ)1(2nX也是无偏估计量；(2)因为X服从区间)1,(上的均匀分布,所以121DX，nDXnXDXDD1211)21(ˆ1，dxxnxXEn1122)1()1()(2)1(12)1(2nnnn，222)1(2)1()1()11(2)1(12)1()()()(nnnnnEXXEXD)2()1(2nnn，)1()1(2)11(ˆDXnXDD)2()1(2nnn，当8n时，nnnn121)2()1(2,)ˆ(ˆ12DD，2ˆ比1ˆ更有效；当71n时，nnnn121)2()1(2,)ˆ(ˆ21DD，1ˆ比2ˆ更有效。第二十一次作业一、填空题1．置信区间的可信度由置信水平1；控制，而样本容量可用来调整置信区间的精确度。2．有一大批糖果，先从中随机地取16袋，称的重量（单位：g）如下：506508499503504510497512514505493496506502509496设袋装糖果的重量近似地服从正态分布),(2N，则总体均值的置信水平为95%的置信区间为[500.4,507.1]，总体标准差的置信水平为95%的置信区间为[4.582,9.599]。二、选择题1．设从总体),(~211N和总体),(~222N中分别抽取容量为9，16的独立样本，以x，y，2xS，2yS分别表示两个独立样本的样本均值和样本方差，若已知1=2，则21的95%的置信区间为（C）A.169(2221975.0uyx，)1692221975.0uyxB.169(22975.0yxSSuyx，)16922975.0yxSSuyxC.5)23((975.0wStyx，)5)23(975.0wStyx，其中2316922yxwSSSD.5)25((975.0wStyx，)5)25(975.0wStyx，其中2516922yxwSSS2．关于“参数的95%的置信区间为),(ba”的正确理解的是（A）。A.至少有95%的把握认为),(ba包含参数真值；B.有95%的把握认为),(ba包含参数真值；C.有95%的把握认为参数真值落在区间),(ba内；D.若进行100次抽样，必有95次参数真值落在区间),(ba内。三、计算题1．设某地旅游者日消费额服从正态分布),(2N，且标准差12，今对该地旅游者的日平均消费额进行估计，为了能以95%的置信水平相信这种估计误差小于2（元），问至少需要调查多少人？解：由于总体为正态分布,且标准差(12)已知,又由10.95,即0.05,查表可得0.975121.96UU，误差小于2即121221.962138.2976Unnn，故至少要调查139人。2．某厂生产一批长为5mm的药片，已知药片长2~(,)XN，随机抽取16粒药片，测得样本均值4.87xmm,样本标准差0.32smm，求总体的方差2在置信水平为0.95下的置信区间。解：由样本值得0.32s,16n，05.0，自由度为151n。查表得262.6)15(2025.0，488.27)15(2975.0。所以，0559.0488.2732.015)15()1(22975.02Sn,2453.0262.632.015)15()1(22025.02Sn.即2的置信水平为0.95的置信区间为：2453.0,0559.0。3．假设人体身高服从正态分布，今抽测甲、乙两地区18岁~25岁女青年身高得数据如下：甲地区抽取10名，样本均值m64.11,样本标准差m4.0,乙地区抽取10名，样本均值m62.11,样本标准差m5.0,求（1）两正态总体方差比的95%的置信区间（2）两正态总体均值差的95%的置信区间。解：(1)根据题意，得10,0.2,0.4xymnSS，对于0.05查表得：0.9750.0250.97511(9,9)4.03,(9,9)(9,9)4.03FFF，计算置信下限和上限：22220.9752222