南京工业大学概率论与数理统计试题及答案

南京工业大学第1页共7页南京工业大学概率统计试题（A）卷（闭）2004-2005学年第二学期使用班级江浦校区03级所在院(系)班级学号姓名题号一二三四五六七八九总分得分一.填空(18分)1.(4分)设P(A)=0.35，P(A∪B)=0.80，那么(1)若A与B互不相容，则P(B)=；(2)若A与B相互独立，则P(B)=。2.(3分)已知5.0)0((其中)(x是标准正态分布函数)，~N(1，4)，且21}{aP，则a=。3．(4分)设随机变量的概率密度为其他,040,81)(xxxf对独立观察3次，记事件“≤2”出现的次数为，则E，D。4.(3分)若随机变量在(0，5)上服从均匀分布，则方程4t2+4t++2=0有实根的概率是。5.(4分)设总体),(~2NX，X是样本容量为n的样本均值，则随机变量niiXX12服从分布，D。二.选择(每题3分，计9分)1．设A和B是任意两个概率不为零的不相容事件，则下列结论中肯定正确的是（A）A与B不相容（B）A与B相容（C）P(AB)=P(A)P(B)（D）P(BA)=P(A)2．设随机变量与均服从正态分布~N(，42)，~N(，52)，而}5{},4{21PpPp，则()。(A)对任何实数，都有p1=p2(B)对任何实数，都有p1p2(C)只对的个别值，才有p1=p2(D)对任何实数，都有p1p23．对于任意两个随机变量和，若EEE)(，则（）。(A)DDD)((B)DDD)((C)和独立(D)和不独立南京工业大学第2页共7页三(12分)、在电源电压不超过200伏，在200～240伏和超过240伏三种情况下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2。假设电源电压服从正态分布N(200,252)，试求(已知788.08.0，其中)(x是标准正态分布函数)：（1）该电子元件损坏的概率；（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240伏的概率。四(15分)、设随机变量(，)的联合概率密度其它,00,),(yxxeyxfy(1)求、的边际概率密度并考察与独立性。(2)求的概率密度函数；(3)求。五(8分)、已知随机变量只取－1，0，1，2四个值，相应的概率依次为c21，c43，c85，c167，确定常数c，并计算}0|1{P和E。六（8分）某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机是否使用外线相互独立的，设每时刻每个分机有5%的概率要使用外线通话，问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用？(已知90.0)282.1(,8413.0)0.1(,788.08.0，其中)(x是标准正态分布函数)七.(10分)设总体X～N(2,)，其中已知，而2未知，(x1，x2，…，xn)为来自总体的样本值。试求2的矩估计量和极大似然估计量。八(8分)、某门课程考试成绩),(~2NX。从其中任意抽出10份试卷的成绩为：74，95，81，43，62，52，86，78，74，67试求该课程平均成绩的置信区间。取置信度为95.01。(已知2281.2)10(,2622.2)9(,8125.1)10(,8331.1)9(025.0025.005.005.0tttt)九(12分)、设某厂生产的灯泡寿命(单位：h)X服从正态分布),(2N，0=1000为的标准值，2为未知参数，随机抽取其中16只，测得样本均值x=946，样本方差s2=1202。试在显著性水平=0.05下，考察下列问题：(1)这批灯泡的寿命与1000是否有显著差异(即检验H0：=1000，H1：≠1000)？(2)这批灯泡是否合格(即检验0H：1000，1H：1000)？南京工业大学概率统计试题（A）卷（闭）标准答案及评分标准2004-2005学年第二学期使用班级江浦校区03级一.填空（18分）1、0.45；……………………………2分9/13。……………………………4分南京工业大学第3页共7页2.1。……………………………3分3．189/64；……………………………2分189/4096。……………………………4分4.0.6。……………………………3分5.)1(2n；……………………………2分)1(2n。……………………………4分二.选择（9分）1．(C)。……………………………3分2．(A)。……………………………3分3．(D)。……………………………3分三（12分）、解：引进事件：A1={电压不超过200V}，A2={电压在200V～240V}，A3={电压超过240V}，B={电子元件损坏}。……………………………1分由于~N(220,252)，因此2522020025220}200{)(1PPAP212.0)8.0(1)8.0(…………………………3分)25220200()25220240(}240200{)(2PAP576.0)8.0()8.0(………………………5分.212.0576.0212.01}240{)(3PAP…………………………6分由题设知P(B|A1)=0.1,P(B|A2)=0.001,P(B|A3)=0.2。（1）由全概率公式)|()()(31iiiABPAPBP0642.02.0212.0001.0576.01.0212.0………………9分（2）由贝叶斯公式009.00642.0001.0576.0)()|()()|(222BPABPAPBAP……………………12分四（15分）、解：（1）.0,00,),()(xxxedyxedyyxfxfxxy南京工业大学第4页共7页.0,00,21),()(20yyeydxxedxyxfyfyyy由于)()(),(yfxfyxf，故与不独立。………4分(2)dxxzxfzf),()(显然仅当xzx0，即zx20时，上述积分不等于零，故.0,00,)12(),()(2/0)(zzezedxxedxxzxfzfzzzxz……8分（3）2)(0dxxexdxxxfEx；6)(0222dxxexdxxfxEx；2)(22EED。…………………10分同理，3E，D3；8),()(0xydyxexydxdxdyyxxyfE。故2328)(),(EEECov。…………………14分于是，32322),(DDCov…………………15分五（8分）、由于c21+c43+c85+c167=1，因此1637c。………………………2分32.0}0{}1{}0{}0,1{}0|1{PPPPP……………………5分37113716167285143021)1(E………………………8分六（8分）、以表示同时使用外线的分机数，则~B(200，0.05。………………1分设总机需设x根外线，则有%90xP，即90.095.005.020005.020095.005.020005.0200xP……………………3分由中心极限定理，有90.05.910x,由题设所给数据得282.15.910x……………………6分解得95.13x故总机需要14根外线才能以不低于90%的概率保证每个分机要使用外线时可供使用。……………………8分南京工业大学第5页共7页七（10分）、解矩估计由于222)(EXEXDX，令niiXnAEX12221即22)(AEXDX，又已知EX。故2的矩估计量为niiniiXnXnA12122222)(11。………………………5分极大似然估计已知时，似然函数为：niinxL122222)(21exp)2()(，因此niixnL12222)(21)2ln(2)(ln，令0)(2112)(ln124222niixndLd。解得2的极大似然估计为：niiXn122)(1。………………………10分八（8分）、解：由题设得到x=2.71)679574(101，51.245)(9121012iixxs。………………3分又由置信度为1-α=1-0.05=0.95得临界值2622.2)9(025.0t。………………5分故置信区间为]41.82,99.59[]1051.2452622.22.71,1051.2452622.22.71[。……………8分九（12分）、解：(1)待验假设H0：=1000，H1：≠1000由于题设方差2未知，故检验用统计量为)1(~/20ntnSXT……………2分由=0.0513.2)15(025.02/tt又由946x、s2=1202，可算得统计量观测值t为8.116/1201000946/220nsxt……………4分因13.2)15(8.1||025.0tt，故考虑接受H0，从而认为这批灯泡的平均寿命与标准值的差异不显著。……………6分(2)待验假设为0H：1000，1H：1000。……………8分因为2未知，故仍选用统计量)1(~/20ntnSXT。…………10分由=0.0575.1)15()1(05.0tnt，而统计量观测值亦同(1)，即8.1t，南京工业大学第6页共7页因75.1)15(8.105.0tt，故拒绝H0，即可以认为这批灯泡不合格。……………12分重点第一章：共14分概率性质古典概率条件概率、事件独立性：一道证明题全概率公式、贝叶斯公式：一道计算题第二章：密度函数和分布函数的概念与性质以及两者的关系随机变量函数的分布，尤其是连续型：一道计算题几种常见的分布第三章：联合分布：一道计算边缘分布、独立性及判别：一道计算独立的正态分布、线性组合分布最大、最小值分布二维均匀正态分布的参数意义和边缘分布独立的充要条件第四章：期望、方差的概念性质计算随机变量函数的期望：一道计算随机变量函数的几个重要分布特征、协方差、相关系数的计算其中，方差和协方差有一道计算题不相关的概念以及不相关与独立性的关系第五章：掌握切比雪夫大数定律第六章：样本均值分布卡方分布T分布第七章：无边际有效性：一道证明矩估计法极大似然估计法置信区间概念一个正态总体的均值和方差的区间估计：一道计算南京工业大学第7页共7页下面是练习册上的重点题目：P2整页P31、5、6P47、9P51、2、5P66、8、9P71、3P84、5P10整页P11第三大题1、5第四大题P12第二大题3、4第三大题2、5P132、3P145、6、7P164、5、7P185、7、8P199、10、11P21整页P22第三大题2、3P23整页P251、4P265、6、7P286、7P291、2、3P301、2P31第三大题1、2综合B第一大题1P32第一大题2P332、3、4P346、7、8P3512、13P3617P37整页P38整页P3912P41整页P427、8、9P45第一节的1、2