初等代数作业(数科1303夏梦楠161301038)

课题：9.4反三角式的恒等变形教时：3课时教学目的：理解恒等的意义，熟练掌握书本上的18个恒等变式，学会推导方法并能熟练的推导出反三角式的恒等变式，并运用恒等式解题；利用知识发生过程的教学方法,围绕反三角函数的概念,培养学生分析变通能力。教学重点：反三角函数的恒等式的推导和运用教学难点：反三角函数的恒等式的推导教学内容：根据反三角式的定义和三角式之间的恒等关系，可推导出下列恒等式。（1）证因为，.，（），所以（2）证明步骤与恒等式（1）相同.（3）.证设则设则,因为，由()，可得，，即（4）证明步骤与恒等式（3）相同.恒等式（3）与（4）是由互为余角的三角恒等式导出的反三角式恒等式。（5）（）证设则设（）则,因为，由，可得，即（）（6）（）证明步骤与恒等式（5）相同.恒等式（5）与（6）是由互为补角的三角恒等式导出的反三角式恒等式。属于区间到，或0到的反三角式可以由另一个属于相同区间的反三角式表示.（7）如果||，那么√（用反正切表示反正弦）.证因为，)=√√,(√)√,所以)=(√)从而有，√（8）如果，那么√（用反正弦表示反正切），证明步骤与恒等式（7）相同.（9）如果||，那么√（用反余切表示反余弦）.（10）如果，那么√（用反余弦表示反正切）.恒等式（9）与（10）的证明步骤与前两个相同.属于区间到的任意一个反三角式可以由属于这一区间的其他任意一个反三角式表示.（11）如果，那么√（用反余弦表示反正弦）.（12）如果，那么√（用反正弦表示反余弦）.（13）如果，√（用反余弦表示反正切）.（14）如果，那么√（用反正切表示反余弦）.（15）如果，（用反余切表示反正切）.（16）如果，（用反正切表示反余切）.（17）如果，√（用反正弦表示反余切）.（18）如果，那么√（用反余切表示反正弦）.这些恒等式（（11）～（18））的证明步骤与前面相同.当时，反正弦，反正切，反余弦，反余切分别可利用恒等式（1）、（2）、（5）、（6）做变换，从而得到与恒等式（11）～（18）相应的一组恒等式。例如，当时，（||）（||）(||)(||)这就是在的情形下用反正切表示反余切。如果一个反三角式与另一个反三角式的取值范围是相同的，并且它们对于某一三角运算的值是相等的，那么这两个反三角式被认为具有恒等的关系.根据这样的意义，以一个反三角式代换另一个与它恒等的反三角式，便称为是反三角式的恒等变形。下列各个恒等式的证明表明了反三角式的恒等变形的基本方法和步骤。例1证明（）（）证根据§9.3反三角式的三角运算的公式（18）与（19），可得（）（）（）（）（）（）（）（）（）因此，（）（）例2证明√√√√证因为√√，所以√√因为√√,并且[√√]√√，(√√)(√)(√)√√√√所以√√√√例3以x的反正切表示.解因为，所以由，有，从而有于是得如果，那么，从而有但当时有于是由此可得因为所以，当时有如果，那么，从而有但当时有，于是由此可得因为所以，当时有于是有{，（），（），（）例4证明（）（）证考虑利用恒等式（）（）设，当时，有，并且，当时，有，并且，因此，当x为任意实数时，总有。因为[]（）（）所以，（）即（）于是有（）（）将以上各等式两端分别相加得（）∑（）设，于是[]（）因为，所以（）即（）于是∑（）（）如果对某个三角式所施行的反三角式运算不是与这个三角式相应的逆运算，那么可以利用三角式的恒等式或反三角式的恒等式作恒等变形，以便利用互逆的运算关系求得结果。例5求（），[，].解1）因为（），，所以（）（[（）]。解2）因为，所以（）。例6证明{[（）]}√证因为，所以||或||√，但为了使有意义，只能取||√设，则[，]，于是有，√，√因为||，所以[（）]√设√，则[，]，则√，√即{[（）]}√课堂练习：1.用和表示2.已知（）（），求的值3.已知，证明√√√4.证明：1）{，[，]，[，]）{，[，]（），[，]5.已知，证明小结：本课主要学习了反三角式的18个恒等式，同学们要熟练掌握其推导方法，能够自己推导出恒等式；能够在做题时熟练运用这些恒等式进行解题。课后作业：书本P269：27,28,29,30,31,32,39。