初等数论大作业

-1-西南大学网络与继续教育学院课程考试答题卷学号姓名层次：专升本类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2016年6月课程名称【编号】：初等数论【0346】A卷题号一二三四五总分评卷人得分（横线以下为答题区）一、填空题（每小题2分，共14分）1.6除19的商是3。2.[9.9]=9。3.44的标准分解式为11×22。4.310的个位数是9。5.9的所有正因数的和是13。6.模9的最小非负简化剩余系是0,1,2,3,4,5,6,7,8。7.大于6且小于18的质数是7,11,13,17。二、简答题（每小题5分，共30分）1.叙述带余数除法定理的内容。答：若a，b是两个整数，其中b0，则存在两个整数q及r，使得a=bq+r，（2）成立，而且q及r是唯一的。证作整数序列…，－3b，－2b，－b，0，b，2b，3b，…则a必在上述序列的某两项之间，及存在一个整数q使得qb≤a(q+1)b成立。令a－qb＝r，则r为整数，且a＝qb＋r，而设是满足（2）的另两个整数，则，所以，于是，故。由于r，都是小于b的正整数或零，故。如果，则，这是一个矛盾。因此，从而。2.叙述公因数的概念。答：设ba,是两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做ba,的一个公因数。整数ba,的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数。3.叙述模m的最小非负完全剩余系的定义。答：设m是一个给定的正整数，则全部整数可以分成m个集合，记作，其中是由一切形如的整数所组成的，这些集合具有下列性质：（1）每一整数必包含在而且仅包含在上述的一个集合里面；（2）两个整数同在一个集合的充要条件是这两个整数对模m同余。4.写出两条有关整除的基本性质。答：（1）若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c的倍数。即：若b|a，c|b，则c|a。（2）若a，b都是m的倍数，则也是m的倍数。5.203是否是5的倍数，为什么？答：203是5的倍数，因为2+0+3=5是5的倍数。6.叙述孙子定理的内容。答：设kmmm，，，21是k个两两互质的正整数，121,2,,kiimmmmmmMik，，，则同余式组-2-)(mod)(mod)(mod2211kkmbxmbxmbx的解是)(mod222111mbMMbMMbMMxkkk，其中iM是满足)(mod1iiimMM的任一个整数，i＝1，2，…，k。三、计算题（每小题8分，共40分）1.求99与22的最大公因数。解：用辗转相除法：99=22×4+1122=11×2+0所以99与22的最大公因数是11。2.求5！的标准分解式。解：由公式n!=1×2×3……×n所以5！=1×2×3×4×5=1×23×3×53.求1510除以7的余数。解：因为151（mod7）,所以151011018（mod7）,即1510除以7的余数是8。4.求不定方程13yx的一切整数解。解：因为（3,1）=1，11，所以有整数解。3x+y=1可以转化为y=1-3x。当x=0时，y=1所以y=1-3x的一切整数解为x=0,1，2…。5.解同余式)7(mod32x。解：因为（2,7）=1,13，所以同余式)7(mod32x只有1个解。由2x-7y=3得一个解x0=5,y0=1所以同余式的解为x5(mod7)四、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若ba|，cb|，则ca|。证明：由ab,bc及整除的定义知存在整数p,q使得b=ap,c=bq因此c=(ap)q=apqPq是一个整数所以ac2.证明：若)(modmba，则)(modmbnan。证明：由ab(modm),得（a-b）m由整除的性质的an-bn=(a-b)nm从而an-bn0(modm)所以anbn(modm)