卡尔曼滤波器的设计及应用研究

I卡尔曼滤波器的设计及应用研究摘要：卡尔曼滤波器（KalmanFilter，KF）是一种递归的估计，即已知上一时刻状态的估计值以及当前状态的观测值就可以计算出当前状态的估计值，它提供了一种高效可计算的方法来估计过程的状态，并使估计均方差最小。卡尔曼滤波器应用广泛且功能强大。无际卡尔曼滤波（UnscentedKalmanFilter，UKF）是近期发展起来的新型非线性滤波方法，它没有非线性近似为线性化的过程，能有效减少线性化误差对系统的影响。随着机电系统对于可靠性和安全性要求的不断提高，故障检测技术发挥着越来越重要的作用，非线性滤波方法是解决非线性故障检测问题的重要技术途径之一。针对线性化对非线性系统故障检测准确率的影响，本文研究了基于UKF的故障决策方法。本文分析了目前应用比较广泛的经典KF、UKF滤波方法，讨论了滤波算法建立的理论基础，理论上对各个滤波算法性能进行比较。关键词：卡尔曼滤波器；非线性系统；无际卡尔曼滤波器；故障检测II目录第一章绪论.....................................................................................................................11.1几种滤波器性能分析...........................................................................................11.1.1卡尔曼滤波器（KF）性能分析...................................................................11.1.2扩展卡尔曼滤波器（EKF）性能分析.........................................................11.1.3无际卡尔曼滤波器（UKF）性能分析.........................................................1第2章卡尔曼滤波器（KF）...........................................................................................12.1卡尔曼滤波器（KF）原理.....................................................................................12.1.1离散时间系统...............................................................................................22.1.2卡尔曼滤波器（KF）基本动态模型...........................................................3第3章无际卡尔曼滤波器（UKF）的研究.....................................................................63.1无际卡尔曼滤波器（UKF）原理.............................................................................63.1.1非线性状态估计原理...................................................................................63.1.2无际变换的基本原理...................................................................................7结论.....................................................................................................................................10参考文献.................................................................................................................................111第一章绪论1.1几种滤波器性能分析1.1.1卡尔曼滤波器（KF）性能分析卡尔曼滤波算法有如下鲜明的特征：由此可见卡尔曼滤波器的应用范围非常广泛。求解中数据的存储量小，因此卡尔曼滤波算法便于计算机的实现。1.1.2扩展卡尔曼滤波器（EKF）性能分析扩展卡尔曼滤波器(EKF)于20世纪60年代提出，是一种历史悠久、应用最为广泛的非线性高斯次优滤波算法，其核心思想就是以卡尔曼滤波算法做为滤波器的基本理论框架，通过对非线性函数泰勒展开式进行一阶线性化截断来达到对非线性状态后验均值和协方差的近似。1.1.3无际卡尔曼滤波器（UKF）性能分析Unscented卡尔曼滤波(UKF)是由Julier所提出的一种新型的非线性滤波算法，由于UKF可以有效克服EKF滤波精度偏低及需要计算雅克比矩阵的局限性，故其在SINS/GPS组合导航系统非线性状态估计、惯性导航初始对准、机动目标跟踪等各个领域已获得广泛的应用。第2章卡尔曼滤波器（KF）2.1卡尔曼滤波器（KF）原理卡尔曼滤波是基于状态空间方法的一套递推滤波算法，在状态空间方法中，引入了状态变量的概念。实际应用中，可以通过选取合适的状态变量来体现系统的特征、特点和状况的变化。卡尔曼滤波的模型包括状态空2间模型和观测模型。状态模型是反映状态变化规律的模型，通过状态方程来描写相邻时刻的状态转移变化规律；观测模型反映了实际观测量与状态变量之间的关系。Kalman滤波问题就是联合观测信息及状态转移规律来得到系统状态的最优估计。2.1.1离散时间系统一个拥有输入向量（或激励向量）)(kx和输出向量)(ky的离散时间线性系统可以通过如图2-1所示的框图表示。这个系统可以根据状态方程和观测方程这二个方程进行进一步的内部描述，即状态方程：,1,0),(),1()(),1()1(kkukkBkxkkFkx(2.1)观测方程：)1()1()1(kxkHky（2.2）3其中，称)(kx为k时刻的状态向量，是一个n×1维的向量，),1(kkF为从k时刻到k+1时刻的状态转移矩阵，是一个n×n维的矩阵；),1(kkB为从k时刻到k+1时刻的激励转移矩阵，是一个n×p维的矩阵；)(ku为k时刻的激励向量，是一个p×1维的向量；x（0）为k=0时刻的初始条件或者初始状态向量，是一个n×1维的向量；H（k）为k时刻的输出转移矩阵，是一个m×n维矩阵；y（k+1）为k+1时刻的输出向量，是一个m×1维矩阵。图2-1给出了计算系统k+1时刻状态的递归形式，它是系统化在k时刻的状态和激励的向量函数。一般离散系统都可以用上述方程和框图表示，卡尔曼滤波器用于处理离散问题亦基于此。2.1.2卡尔曼滤波器（KF）基本动态模型卡尔曼滤波建立在线性代数和隐马尔可夫模型（HiddenMarkovModel)上。其基本动态系统可以用一个马尔可夫链表示，该马尔可夫链建立在一个被高斯噪声干扰的线性算子上的。系统的状态可以用一个元素为实数的向量表示。随着离散时间的每一个增加，这个算子就会作用在当前状态上，产生一个新的状态，并也会带入一些噪声，同时系统的一些已知的控制信息也会被加入。同时，另一个受噪声干扰的线性算子产生出这些隐含离散时间线性系统)(ku输入矢量)(ky输出矢量图2-1离散时间系统的输入-输出表示4状态的可见输出。为了从一系列有噪声的观察数据中用卡尔曼滤波器估计出被观察过程的内部状态，我们必须把这个过程在卡尔曼滤波的框架下建立模型。卡尔曼滤波模型假设k时刻的真实状态是从（k-1)时刻的状态演化而来，符合下式：kkkkwBuFxx1(2.3)其中：1．F是作用在k-1时刻的状态转移矩阵。（实际中F可能随时间变化，但在这儿假设为常数。）2．B是作用在控制向量ku上的输入——控制向量3．kw是过程噪声，并假设其符合均值为零，协方差矩阵为Q的正态分布，P（w）~N（0，Q）（2.4）图2-2卡尔曼滤波器基本模型5在k时刻，对真实状态kx的一个测量值kz满足下式：kkkvHxz(2.5)其中1．H是观测矩阵，它把真实状态空间映射成观测空间。（实际中H可能随时间变化，但在这儿假设为常数。）2．v是观测噪声，并符合均值为零，协方差矩阵为R的正态分布，),0(~)(RNvP（2.6）实际上，很多真实世界的动态系统都并不确切符合这个模型；但是由于卡尔曼滤波器被设计在有噪声的情况下工作，一个近似的符合已经可以是这个滤波器非常有用了。6第3章无际卡尔曼滤波器（UKF）的研究3.1无际卡尔曼滤波器（UKF）原理和EKF一样，UKF也是一种递归式贝叶斯估计方法，它利用UT变换(UnscentedTransform)方法，用一组确定的取样点来近似后验概率]/[kkZxP。但是UKF不必线性化非线性状态方程和观测方程，它直接利用非线性状态方程来估算状态向量的概率密度函数（pdf）。UKF规定一组确定的取样点，当状态向量的概率密度函数是高斯型的，利用这组取样点能获取高斯密度函数的均值和协方差。当高斯型状态向量经由非线性系统进行传递时，对任何一种非线性系统，利用这组取样点能获取精确到三阶矩的后验均值和协方差。3.1.1非线性状态估计原理1.非线性系统状态估计一般描述状态方程和观测方程可表示为：kkkkuxfx),(1（3.1）kkkvxhy)(（3.2）式中，kx为状态量，ky为观测量，ku为系统输入，k为系统噪声，且),(~QNkk，kv为观测噪声，且),(~RvNvkk，k和kv相互独立且与系统状态x无关。不管条件密度函数)|(|yxPyx的特征如何，最小均方估计就是条件均值}|{|yxEyx。非线性状态滤波过程的实现包括一步预测与测量修正两个阶段。7预测阶段：根据所有过去时刻的测量信息对状态作最小方差估计}|{1kkkYxEx（3.3）状态估计质量的优劣利用预测误差协方差矩阵描述}|))({(1kTkkkkkYxxxxEP（3.4）修正阶段：获得当前时刻的测量信息后，对状态预测估值进行修正，得到状态的最优估计值][}|{ˆkkkkkkkyyKxYxEx（3.5）其中，kx、ky分别为估计值kx和观测值ky的最优预测，kK为滤波增益，反映了新息对估计的重要程度。)()(1kPkPKyxyk（3.6）}|{1kkkYyEy（3.7）}|)]()][({[)(1kTkkkkyYxhyxhyEkP（3.8）}|)](][{[)(1kTkkkkxyYxhyxxEkP（3.9）描述最优状态估计值优劣的误差协方差阵确定如下：TkykkkTkkkkkKkPKPYxxxxEP)(}|)ˆ)(ˆ{(ˆ（3.10）3.1.2无际变换的基本原理UT变换的主要思想是“近似概率分布比近似非线性函数更容易”，它采用确定的点集S（又称为Sigma点）来表征输入分布（或部分统计特征），然后对每个Sigma点分别进行非线性变换，通过加权计算捕捉到变换后的8统计特性。这种方法把系统当作“黑盒”来处理，因而不依赖于具体的非线性，也不必计算雅可比矩阵。UT算法的关键是Sigma点采样策略，也就是Sigma点的个数、位置以及相应权值的确定方法，保证在抓住输入变量x的分布特征的同时，使得逼近输出某些性能指标的代价函数达到最小。Unscented变换过程需要以下几步：第