历届全国大学生数学竞赛真题

高数竞赛预赛试题（非数学类）2009年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.五、（10分）已知xxexey21，xxexey2，xxxeexey23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线cbxaxyln22过原点.当10x时,0y,又已知该抛物线与x轴及直线1x所围图形的面积为31.试确定cba,,,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(xun满足),2,1()()(1nexxuxuxnnn,且neun)1(,求函数项级数1)(nnxu之和.八、（10分）求1x时,与02nnx等价的无穷大量.2010年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、（25分，每小题5分）（1）设22(1)(1)(1),nnxaaa其中||1,a求lim.nnx（2）求21lim1xxxex。（3）设0s，求0(1,2,)sxnIexdxn。（4）设函数()ft有二阶连续导数，221,(,)rxygxyfr，求2222ggxy。（5）求直线10:0xylz与直线2213:421xyzl的距离。二、（15分）设函数()fx在(,)上具有二阶导数，并且()0,lim()0,lim()0,xxfxfxfx且存在一点0x，使得0()0fx。三、（15分）设函数()yfx由参数方程22(1)()xtttyt所确定，其中()t具有二阶导数，曲线()yt与22132tuyedue在1t出相切，求函数()t。四、（15分）设10,,nnnkkaSa证明：（1）当1时，级数1nnnaS收敛；（2）当1且()nsn时，级数1nnnaS发散。五、（15分）设l是过原点、方向为(,,)，（其中2221)的直线，均匀椭球2222221xyzabc，其中（0,cba密度为1）绕l旋转。（1）求其转动惯量；（2）求其转动惯量关于方向(,,)的最大值和最小值。六、(15分)设函数()x具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲线积分422()cxydxxdyxy的值为常数。（1）设L为正向闭曲线22(2)1,xy证明422()0;cxydxxdyxy（2）求函数()x；（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求422()cxydxxdyxy。2011年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷一．计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos0sinlimxxxx；（2）.求111lim...12nnnnn；（3）已知2ln1arctanttxeyte，求22dydx。二．（本题10分）求方程2410xydxxydy的通解。三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且'0,0,0fff均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,kkk，使得12320230lim0hkfhkfhkfhfh。四．（本题17分）设2221222:1xyzabc，其中0abc，2222:zxy，为1与2的交线，求椭球面1在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。五．（本题16分）已知S是空间曲线22310xyz绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z）取上侧，是S在,,Pxyz点处的切平面，,,xyz是原点到切平面的距离，,,表示S的正法向的方向余弦。计算：（1）,,SzdSxyz；（2）3SzxyzdS六．（本题12分）设f(x)是在,内的可微函数，且fxmfx、，其中01m，任取实数0a，定义1ln,1,2,...,nnafan证明：11nnnaa绝对收敛。绝对收敛。七．（本题15分）是否存在区间0,2上的连续可微函数f(x)，满足021ff，201,1fxfxdx、？请说明理由。