初等数论试卷和答案

初等数论考试试卷1一、单项选择题(每题3分，共18分)1、如果ab，ba，则().AbaBbaCbaDba2、如果n3，n5，则15（）n.A整除B不整除C等于D不一定3、在整数中正素数的个数（）.A有1个B有限多C无限多D不一定4、如果)(modmba,c是任意整数,则A)(modmbcacBbaCac)(modmbcDba5、如果(),则不定方程cbyax有解.Acba),(B),(bacCcaDaba),(6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或9二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（）.2、同余式)(mod0mbax有解的充分必要条件是().3、如果ba,是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为().4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者().5、ba,的公倍数是它们最小公倍数的().6、如果ba,是两个正整数,则存在()整数rq,,使rbqa,br0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?2、求解不定方程144219yx.3、解同余式)45(mod01512x.4、求563429,其中563是素数.（8分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n,数62332nnn是整数.2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.3、证明形如14n的整数不能写成两个平方数的和.试卷1答案一、单项选择题(每题3分，共18分)1、D.2、A3、C4、A5、A6、B二、填空题(每题3分，共18分)1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.2、同余式)(mod0mbax有解的充分必要条件是(bma),().3、如果ba,是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为(][ba).4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者(与p互素).5、ba,的公倍数是它们最小公倍数的(倍数).6、如果ba,是两个正整数,则存在(唯一)整数rq,,使rbqa,br0.三、计算题(每题8分，共32分)1、求[136,221,391]=?（8分）解[136,221,391]=[[136,221],391]=[391,17221136]=[1768,391]------------(4分)=173911768=104391=40664.------------（4分）2、求解不定方程144219yx.（8分）解：因为（9，21）=3，1443，所以有解；----------------------------（2分）化简得4873yx；-------------------（1分）考虑173yx，有1,2yx，-------------------（2分）所以原方程的特解为48,96yx，-------------------（1分）因此，所求的解是Zttytx,348,796。-------------------（2分）3、解同余式)45(mod01512x.（8分）解因为(12,45)=3¦5,所以同余式有解,而且解的个数为3.----------（1分）又同余式等价于)15(mod054x,即yx1554.------------（1分）我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3),----------（2分）即定理4.1中的100x.------（1分）因此同余式的3个解为)45(mod10x,---------（1分）)45(mod25)45(mod34510x,-----------------（1分）)45(mod40)45(mod345210x.---------（1分）4、求563429,其中563是素数.（8分）解把563429看成Jacobi符号,我们有42967)1(429674292429134429563429563)1(5634298142921563.214292---------------（3分）27672767)1(67276742967429)1(429672167.212721429.2167----------------------（2分）11311327)1(27132113.2127,-----------------（2分）即429是563的平方剩余.---------------（1分）四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)1、证明对于任意整数n,数62332nnn是整数.(10分)证明因为62332nnn=)32(62nnn=)2)(1(61nnn,------（3分）而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,-----（2分）并且(2,3)=1,-----（1分）所以从)2)(1(2nnn和)2)(1(3nnn有)2)(1(6nnn,-----（3分）即62332nnn是整数.-----（1分）2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.（11分）证明因为133)1(233nnnn,-------------（3分）所以只需证明1332nn)5(mod.而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,所以这只需将n=0,±1,±2代入1332nn分别得值1，7，1，19，7.对于模5,1332nn的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,所以1332nn)5(mod---------（7分）所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。--------（1分）3、证明形如14n的整数不能写成两个平方数的和.（11分）证明设n是正数,并且)4(mod1n,----------（3分）如果22yxn,---------（1分）则因为对于模4,yx,只与0,1,2,-1等同余,所以22,yx只能与0,1同余,所以)4(mod2,1,022yx,---------（4分）而这与)4(mod1n的假设不符,---------（2分）即定理的结论成立.------（1分）初等数论考试试卷二一、单项选择题1、),0(b（）.AbBbCbD02、如果1),(ba，则),(baab=（）.AaBbC1Dba3、小于30的素数的个数（）.A10B9C8D74、如果)(modmba,c是任意整数,则A)(modmbcacBbaCac)(modmbcDba5、不定方程210231525yx（）.A有解B无解C有正数解D有负数解6、整数5874192能被()整除.A3B3与9C9D3或97、如果ab，ba，则().AbaBbaCbaDba8、公因数是最大公因数的（）.A因数B倍数C相等D不确定9、大于20且小于40的素数有（）.A4个B5个C2个D3个10、模7的最小非负完全剩余系是().A-3，-2,-1,0,1,2，3B-6，-5,-4,-3,-2,-1C1,2,3,4,5，6D0,1,2,3,4，5，611、因为(),所以不定方程71512yx没有解.A[12，15]不整除7B（12，15）不整除7C7不整除（12，15）D7不整除[12，15]12、同余式)593(mod4382x（）.A有解B无解C无法确定D有无限个解二、填空题1、有理数ba，1),(,0baba，能写成循环小数的条件是（）.2、同余式)45(mod01512x有解，而且解的个数为().3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为().4、设n是一正整数，Euler函数)(n表示所有()n，而且与n（）的正整数的个数.5、设ba,整数，则),(ba（）=ab.6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（）数码的和能被3整除.7、][xx（）.8、同余式)321(mod75111x有解,而且解的个数().9、在176与545之间有()是17的倍数.10、如果0ab,则),](,[baba=().11、ba,的最小公倍数是它们公倍数的().12、如果1),(ba,那么),(baab=().三、计算题1、求24871与3468的最小公倍数?2、求解不定方程2537107yx.（8分）3、求563429,其中563是素数.（8分）4、解同余式)321(mod75111x.（8分）5、求[525,231]=?6、求解不定方程18116yx.7、判断同余式)1847(mod3652x是否有解？8、求11的平方剩余与平方非剩余.四、证明题1、任意一个n位数121aaaann与其按逆字码排列得到的数nnaaaa121的差必是9的倍数.（11分）2、证明当n是奇数时，有)12(3n.（10分）3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分）4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.5、如果ba,是两个整数,0b,则存在唯一的整数对rq,,使得rbqa,其中br0.