动量与角动量1.

第三章动量与角动量(MomentumandAngularMomentum)★力的时间累积作用规律冲量、动量、动量定理、动量守恒定理★力矩的时间累积作用规律冲量矩、质点的动量矩（角动量）、质点的角动量定理、质点的角动量守恒定理一、力的时间累积作用规律dtpdFpdtFd121221vmvmpptFttd2．冲量(Impulse)1．动量(Momentum)pmV2121~ttttIFdt3．动量定理（对质点）微分形式：FdtmdvdP积分形式：21ttIFdt21PP21mvmv在t1到t2一段时间内，质点所受的合外力的冲量等于在这段时间内质点动量的增量。xxttxxmvmvdtFI1221yyttyymvmvdtFI1221zzttzzmvmvdtFI1221分量表示式某方向受到冲量，该方向上动量就改变。说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同样的效果，即同样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些，力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。是过程量，累积量；是瞬时量；是状态量。IFP动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来，而忽略细节变化；即尽管外力在运动过程中时刻改变着，物体的速度方向也可以逐点不同，但动量定理却总是遵守着。对于碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使用，可以用动量定理求解；变质量物体的运动过程，用动量定理较方便。只适用于惯性系，且与惯性系的选择无关。在国际单位制中，冲量的单位是：即sN1smkg平均冲力：1212121()njjjFttppFtttt21txxtIFdt21tyytIFdt21tzztIFdt21()xftt21()yftt21()zftt碰撞过程：泛指物体间相互作用时间很短的过程。冲力例力，沿z方向，计算t=0至t=1s内，力对物体的冲量。解：32Ft32zFFt21tzztIFdt10(32)tdt2()Ns0yI0xI例一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力为F=400–4105t/3(SI)，子弹从枪口射出时的速率为300m/s,假设子弹离开枪口处合力刚好为零，则（1)子弹走完枪筒全长所用的时间t=?(2)子弹在枪筒中所受力的冲量I=?(3)子弹的质量m=?（1)541040003Ft0.003()ts解：(2)子弹在枪筒中所受力的冲量(3)子弹的质量m=?21ttIFdt50.0030410(400)3Itdt21IPP0300Imm003.00253102400tt)(6.0sNkgm002.0例一质量为0.05kg、速率为10m·s-1的刚球，以与钢板法线呈45º角的方向撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来。设碰撞时间为0.05s，求在此时间内钢板所受到的平均冲力。O解：由动量定理得球所受平均冲力0sinsinvvmmN1.14cos2tmFFxv方向与轴正向相同oxxxxmmtF12vvcos2vm)cos(cosvvmmyyymmtF12vvF'F钢板所受到的平均冲力1vm2vmxyO例一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力等于已落到桌面上的绳的重量的三倍。xdxdmF′F4.质点系的动量定理质点系：由有相互作用的若干个质点组成的系统。内力：系统内各质点间的相互作用力。外力：系统外其他物体对系统内任一质点的作用力。质点系1m2m12F21F1F2F对两质点分别应用质点动量定理：20222212d21vvmmt)FF(tt10111121d21vvmmt)FF(tt)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt因内力，02112FF故将(1),(2)两式相加后得：任意一段时间间隔内质点系所受合外力的冲量等于在同一时间间隔内质点系内所有质点的动量矢量和的增量。212111合外nntiiiitiiFdtmvmvP137例3.3区分外力和内力内力仅能改变系统内某个物体的动量，但不能改变系统的总动量。注意动量定理与牛顿定律的关系牛顿定律动量定理力的效果力的瞬时效果力对时间的积累效果关系牛顿定律是动量定理的微分形式动量定理是牛顿定律的积分形式适用对象质点质点、质点系适用范围惯性系惯性系解题分析必须研究质点在每时刻的运动情况只需研究质点（系）始末两状态的变化5.动量守恒定律（对质点系）iimv当质点系所受的合外力为零时，系统的总动量保持不变。=恒矢量1122nnmvmvmv,0时ixF,0时iyF,0时izF1122常数xxnnxmvmvmv1122常数yynnymvmvmv1122常数zznnzmvmvmv在直角坐标系中的分量式可表示为：0当时iF1)动量守恒定律成立的条件：*系统根本不受外力或合外力为零。*系统所受内力很大，外力可以忽略不计。*系统在某一方向所受合外力为零，系统在该方向动量守恒（总动量不一定守恒）。2)动量守恒定律适用范围：惯性系，宏观、微观都适用。,0时ixF常数nxnxxvmvmvm2211如：3)动量守恒定律比牛顿定律更基本。例冲击摆。一质量为M的物体静止悬挂，一质量为m的子弹沿水平方向以速度v射中物体并停止在其中。求子弹刚停在物体内时物体的速度。MmvVv例粒子B的质量是粒子A的质量的4倍，开始时粒子A的速度，粒子B的速度，在无外力作用的情况下两者发生碰撞，碰后粒子A的速度变为，则碰后粒子B的速度=?解：（A+B）粒子动量守恒34ADvij27BDvij74Avij0合外F粒子B的速度AADBBDAABBmvmvmvmv5Bvij例一个有1/4圆弧滑槽的质量为M的物体放在光滑水平面上，有一质量为m的小物体从滑槽顶端由静止下滑，求当小物体滑到底时，大物体在水平面上移动的距离。MmxyR6．火箭飞行原理系统动量守恒vMtv+dvM+dMt+dtudm喷出气体对火箭体推力dmFudt速度增量lnififMvvuM二、质心质量中心1.N个质点的系统（质点系）质心的位置矢量111NNiiiiiicNiimrmrrmm1Niiicmxxm1Niiicmyym1Niiicmzzm分量式：xyzmiOm2m1ir1rCrmxdmmmxxN1iiic1Niiicymydmymm1NiiiczmzdmzmmxyzOmmrmmrrNiiiNcdlim1质量连续分布的系统的质心位置rdm分量：dmdrdm总长度总质量线分布dsdm总面积总质量面分布dVdm总体积总质量体分布1.质心是一个点，一个可以“代表”整个物体运动的点；这个点的位置与物体质量分布有关。就是当我们把实际物体看作质点来处理问题时，质量应该全部集中的点。2.同一物体选取不同坐标系则质心坐标数值不同，但是质心相对物体的位置是固定的，只与质量分布有关，不随坐标系选择而变化。但质心不一定在物体上。3.质量均匀的物体质心在几何中心。4.质心与重心不是一个概念。质心：物体质量分布中心，由物体质量分布确定。重心：地球对物体各部分引力的合力的作用点。说明：例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。xyo（x1，y1）x2332121xxmmxmxxc3311ymmyyc解：例长为l的细杆的密度按关系式＝0x/l随x而变化，其中x是从杆的一端算起的距离，0为常量，试求该细杆质心的位置。ox解：取坐标轴如图示。mxdmxcdmxdmxcdxx在距原点x处取长为dx的小段，dxdxxlldxlxdxlxx0000l32例已知一均匀半圆环半径为R，质量为M。求它的质心位置。解：建坐标系如图，yxOdπRRMsincosRyRx0cxπ2dπsindπ0RMRRMRMmyyc任取弧长dl，其质量dmdm=dlmdd（几何对称性）2.质心运动定理taccddviiiidvmmadtmmddiiiirmmtmmvcrmrmmrmNiiiNiiNiii111ddccrtviiFF外cFma外＝质心运动定理mPicmPv质点系的总动量在质心的位置处有一个质点，该质点集中整个系统质量，并集中系统受的外力。（2）质心运动状态取决系统所受外力，内力不能使质心产生加速度。质心的运动可能相当简单。（1）质心的运动：说明：（3）当一质点系所受合外力为零时，其质心速度不变——系统动量守恒。r'iz'x'y'xyzmircri110()'NNiiciiiimrrmriicrrr--------质点系的质心在其中静止的平动参考系.质心系'10Niiimv零动量参照系例：水平桌面上拉动纸，纸张上有一静止均匀球，球的质量M，纸被拉动时与球的摩擦力为F，求：t秒后球相对桌面移动多少距离？xyo解：caMFMFac2212ccFxMattM.ca0ddtacxcxvMmMxmxxc21MmxMxmxc21MmmlSMmMlSls例质量m的人站在质量M长度l的船头，开始船静止，当人从船头走到船尾，求人和船各移动的距离(相对岸）。解：在水平方向上，外力为零，则开始时，系统质心位置终了时，系统质心位置)'()'(1122xxmxxMx2x1x'x1'x2Occxx解得SSls